Пересечение прямой с плоскостью

Задача нахождения точки пересечения прямой с плоскостью сводится к решению системы трёх уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными

Одно из этих уравнений определяет плоскость, а два других – прямую.

Решение задачи упрощается, если прямая задана параметрическими уравнениями.
В этом случае достаточно:

1)  подставить в уравнение плоскости вместо переменных х, у и z их выражения через параметр t в в уравнениях прямой;

2)  решить полцученное уравнение с одним неизвестным t;

3)  из уравнения прямой найти значения x, y и z, соответствующие полученному значению t; они и будут координатами точки пересечения прямой с плоскостью (так как удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости).

Закрепим пройденный материал решением задач

Найдите точку М₀ пересечения прямой

с плоскостью x - y + 2·z - 3 = 0.

M0 (5; - 6; 1)	M0 (- 5; 6; 1)	M0 (- 5; - 6; - 1)	M0 (- 5; - 6; 1)	M0 (5; - 6; - 1)

Найдите точку пересечения прямой с плоскостью x + 2·y - z - 3 = 0.

M0 (- 10; - 2; - 17)	M0 (10; - 2; - 17)	M0 (- 10; 2; - 17)	M0 (- 10; - 2; 17)	M0 (10; 2; - 17)

Решение первой задачи

Параметрические уравнения данной прямой:

Далее по сценарию, указанному на странице 01:

1)  2·t - 1 - 3·t - 2·t - 2 - 3 = 0, или 3·t + 6 = 0;

2)  t = - 2;

3)  x = - 4 - 1 = 5;
     y = 3·(- 2) = - 6,
     z = 2 - 1 = - 6;
Итак, M₀ (- 5, - 6, 1).

Преобразуем уравнения прямой к уравнениям в канонической форме Почле этого задача решается как задача 1:

1)  запишем уравнения прямой в параметрической форме:

2)  ;

3)  ;

4)  подставив найденное t в параметрические уравнения прямой, получим
М (- 10, - 2, - 17).