Обзор главы V

Прямая в пространстве рассматривается, как линия пересечения двух плоскостей и определяется уравнениями этих плоскостей. Два уравнения

определяют прямую в пространстве, если их коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Такие уравнения называются общими уравнениями прямой в пространстве. Через прямую проходит бесконечное множество плоскостей.

Пучёк плоскостей, проходящих через прямую

представляется уравнением
где λ – переменная, принимающая всевозможные действительные значения.

Каждому значению λ соответствует плоскость, проходящая черезданную прямую.

Плоскость, проходящая черезданную прямую и перпендикулярная координатной плоскости, проектирует прямую на эту плоскость. Уравнения двух таких плоскостей называются уравнениями прямой в проекциях.

Поскольку плоскость,перпендикулярная координатной плоскости, параллельна координатной оси, каждое из уравнений прямой в проекциях не содержит одной из переменных.

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения вида

,
где х0, у0, z0 – координаты точки, принадлежащей прямой, m, n, p – координаты направляющего вектора прямой.

Канонические уравнения прямой следуют из признака коллинеарности векторов и , где М (х, y, z) – произвольная точка прямой.

Каноническое уравнение прямой А = В = С (трёхзвенная цепочка) представляется тремя системами уравнений прямой в общем виде

  

Чтобы перейти от общих уравнений прямой к её каноническим уравнениям, нужно

1)  выбрать из пучка плоскостей, проходящих через данную прямую, две плоскости, проектирующие эту прямую на координатные плоскости (уравнения этих плоскостей не содержат одной из переменныъ);
2)  разрешить каждое из полученных уравнений относительно оставшегося общего переменного;
3)  объединить правые части уравнений и одинаковую левую часть в трёхзвенную цепочку равенств;
4)  разделить числители и знаменатели дробей на коэффициенты при переменных, не равные 1.

Полученные уравнения будут каноническими (если координаты направляющего вектора окажутся дробными, их можно заменить целыми числами, им пропорциональными).

Уравнения прямой, проходящей через две точки М1 (x1, y1, z1) и М2 (x2, y2, z2) запишутся так:

(уравнение следует из условия коллинерности векторов M1M2 и M1M, где М (x, y, z) – произвольная точка прямой).

Необходимым и достаточным признаком параллельности двух прямых является коллинеарность их направляющих векторов. Для прямых l1 и l2 с направляющими векторами и имеем

(Совпадение прямых считаем особым случаем параллельности.)

Необходимым и достаточным признаком перпендикулярности двух прямых является перпендикулярность их направляющих векторов. Для прямых l1 и l2 с направляющими векторами и имеем

Если прямая и плоскость параллельны, то их направляющий и нормальный векторы перпендикулярны, и наоборот; следовательно,

A·m + B·n + C·p = 0
есть необходимое и достаточное условие параллельности прямой l с направляющим вектором и плоскости Q с нормальным вектором (А, В, С);
Принадлежность прямой плоскости будем считать особым случаем параллельности прямой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то их направляющий и нормальный векторы коллинеарны и наоборот, т.е. есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости, или

Угол θ между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами и, следовательно, может быть найден по формуле

Угол ψ между прямой и плоскостью определяется по формуле

.

Обозначив равные отношения в канонических уравнениях прямой буквой t

получаем уравнения
или
называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. Каждому значению t* параметра t соответствует точка М* (x*, y*, z*) прямой. Когда параметр t принимает всевозможные значения, точка М пробегает всю прямую. Параметрические уравнения прямой удобно использовать при решении задачи: найти точку пересечения данной прямой с данной плоскостью. Если в уравнение плоскости А·x + B·y + C·z + D = 0 вместо х, y и z подставить их выражения через t из параметрических уравнений прямой, то получится уравнение с одним неизвестным t; решив это уравнение, найдём значение параметра t, которому в параметрических уравнениях прямой соответствуют координаты (x0, y0, z0) точки пересечения прямой с плоскостью.