Контрольные вопросы и задачи главы 6

 
  1. Как направлен вектор , являющийся векторным произведением векторов и , смотри рисунок.
    (векторы и расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа)
  2. Чему равен модуль вектора , равного ?
  3. Обладает ли векторное произведение свойством переместительности?
  4. Что происходит с векторным произведением при перестановке его сомножителей?
  5. В каких случаях векторное произведение равно нулю?
  6. Каков геометрический смысл модуля векторного произведения неколлинеарных векторов?
  7. Как найти координаты векторного произведения, зная координаты векторов сомножителей?
  8. Найдите площадь треугольника с вершинами А (1, 0, 1), В (- 2, 3, 0), С (- 1, 1, 2).

    Отв. кв. ед.

  9. Найдите координаты направляющего вектора прямой, заданной уравнениями

    Отв.

  10. Как расшифровывается обозначение смешанного произведения векторов?
  11. Какое действие выполняется последним при нахождении смешанного произведения векторов?
  12. Чем является смешанное произведение векторов – вектором или числом?
  13. Как найти смешанное произведение векторов, заданных координатами?
  14. Что происходит со смешанным произведением при перестановке двух сомножителей?
  15. Напишите всевозможные круговые перестановки сомножителей смешанного произведения .
  16. Меняется ли смешанное произведение при круговой перестановке сомножителей?
  17. Каков геометрический смысл смешанного произведения некомпланарных векторов?
  18. Найдите объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

    Отв. 25 куб. ед.

  19. В чём заключается необходимый и достаточный признак компланарности трёх векторов?
  20. Как выражается признак компланарности трёх векторов в координатной форме?
  21. Лежат ли точки А (- 4, 0, 1), В (9, - 2, 1) С (1, 3, - 1), D (4, 0, 5) в одной плоскости?
  22. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки А1 (1, 2, 3), А2 (4, - 1, - 2), А3 (4, 0, 3).
    Ответ. 10·x + 15·y - 3·z - 31 = 0.
  23. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (2, 3, - 1) и М2 (1, 5, 3) и перпендикулярной плоскости 3·x - y + 2·z + 15 = 0.
    Ответ. 8·x + 14·y - 5·z - 63 = 0.
  24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 0, - 1) и перпендикулярной двум плоскостям: 2·x + y - z = 0 и x - y - z - 1 = 0.
    Ответ. 2·x - y + 3·z + 1 = 0.
  25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А (4, - 3, 1) и параллельной прямым и .
    Ответ. 16·x - 27·y + 14·z - 159 = 0.