ОБЗОР ГЛ. VIII

   В этой главе мы рассмотрели систему координат на плоскости, отличную от декартовой прямоугольной, а именно полярную систему координат.
   Эта система представляет собой луч, называемый полярной осью, исходящей из полюса О.
   Положение точки на плоскости в полярной системе координат определяется

  • её расстоянием ρ от полюса и
  • углом φ, отсчитываемым от полярной оси против часовой стрелки до отрезка ОМ.
Из этих формул следует, что
, .
При переходе от прямоугольной системы координат к полярной упрощаются уравнения многих линий. Например, линия
в полярной системе координат имеет уравнение
ρ = sin 2φ;
в этом легко убедиться, подставив вместо х и у их выражения через ρ и φ.
   Линии, заданные уравнениями в полярных координатах, легко построить по точкам.
   В этой главе, кроме перехода от декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к полярной, рассмотрен переход от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой прямоугольной системе координат. Такой переход называется преобразованием системы декартовых прямоугольных координат на плоскости.
   Были решены две задачи преобразования координат: найти связь между координатами одной и той же точки в старой и новой системах координат при 1) переносе начала координат, 2) повороте координатных осей.
   При переносе начала координат в точку О´ (a, b) старые координаты х и у произвольной точки выражаются через её новые координаты х´ и y´ так:
x = x´ + a, y = y´ + b,
откуда
x´ = x - a, y´ = y - b.
   При повороте координатных осей на угол α старые координаты х и у произвольной точки М выражаются через её новые координаты х1 и у1 по формулам
x = x1·cos α - y1·sin α,
y = x1·sin α + y1·cos α,
а новые координаты через старые – по формулам
x1 = x·cos α + y·sin α,
y1 = - x·sin α + y·cos α,
   При преобразованиях прямоугольной системы координат уравнения линии меняются, но алгебраические уравнения переходят в алгебраические уравнения той же степени. (Напоминаем, что при переходе от прямоугольной системы координат к полярной алгебраическое уравнение может стать трансцендентным).
   При переносе начала координат в алгебраических уравнениях второй степени могут изменяться только коэффициенты членов первой степени и свободные члены.
   Выбрав соответствующим образом новое начало координат, можно упростить уравнение линии второго порядка, обратив в нуль какие-нибудь два коэффициента младших членов (т. е. членов первой или нулевой степени).
   При повороте координатных осей меняются коэффициенты членов второй степени.
   Выбрав подходящий угол α поворота осей, можно упростить уравнение линии второго порядка, обратив в нуль коэффициент одного из старших членов.