Каждую задачу постарайтесь решить самостоятельно. Если это не удастся, просмотрите подсказку, где даны указания к решению этой задачи. Своё решение Вы можете сравнить с приведённым решением.

Условие задачи 1

   Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение
?

Подсказка к задаче 1

Если векторы и не коллинеарны, то и являются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение задачи 1

(диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – прямоугольник).

Условие задачи 2

Задача 2.Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы их сумма и разность были взаимно перпендикулярны?

Подсказка к задаче 2

Смотри указание к задаче 1.

Решение задачи 2

∦ и || = ||, так как диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда он – ромб.

Условие задачи 3

Задача 3.Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы и , чтобы для них выполнялось соотношение
  1. а) | + | > | - |
  2. б) | + | < | - |

Подсказка к задаче 3

Рассмотрите два случая:
  1. 1) векторы и не коллинеарны (см. указание к задаче 1):
  2. 2)  векторы и коллинеарны.

Решение задачи 3

  1. 1) Если векторы и не коллинеарны, то | + | > | - |, тогда угол между векторами и – острый;
    а | + | < | - |, тогда угол – тупой.
  2. 2) Если векторы и коллинеарны, то | + | > | - |, когда векторы и направлены одинаково;
    а | + | < | - |, когда векторы и направлены противоположно.

Условие задачи 4

   Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы и , чтобы имело место соотношение:
  1. а) | + | = || + ||;
  2. б) | + | = || - ||?

Подсказка к задаче 4

Если векторы и не коллинеарны, то векторы , и + образуют треугольник.

Решение задачи 4

   Если векторы и не коллинеарны, то | + | < || + || и | + | > || - ||, так как в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности. Если векторы и коллинеарны и одинаково направлены, то | + | = || + ||, но | + | > || - ||. Если векторы и коллинеарны и противоположно направлены, то | + | = || - ||, но | + | < || + ||.
   Таким образом
| + | = || + || <=> ↑↑
| + | = || - || <=> ↑↓.

Условие задачи 5

   Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение
?

Подсказка к задаче 5

и – единичные векторы.

Решение задачи 5

   Векторы одинаковой длины равны в том и только в том случае, если они одинаково направлены. Вектор направлен одинаково с вектором . Вектор направлен одинаково с вектором . Следовательно, векторы и должны быть одинаково направлены.

Условие задачи 6

   В четырехугольнике АВСD . Выразить через данные векторы , соединяющий середины диагоналей и .
Ответ. .

Подсказка к задаче 6

Выразите диагонали четырехугольника через его стороны. Представьте в виде суммы трх векторов.

Решение задачи 6



Условие задачи 7

   Докажите, что четырёхугольник с вершинами А(- 2, - 3), В(1, 4), С(3, 1) и D(8, - 18) – трапеция.

Подсказка к задаче 7

   Убедитесь, что среди векторов , , и два коллинеарны, а два других – не коллинеарны.

Решение задачи 7

, так как ;
, так как .

Условие задачи 8

Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной, равной 2. Найдите модуль равнодействующей R, AB, AC, AD, AE, AF.
Ответ. |R| = 12.

Подсказка к задаче 8

Стороны АВ и АЕ примите за координатные оси. Выразите все данные силы через орты i и j.

Решение задачи 8

AB = 2·i; AC = 3i + ·j; AD = 2i + 2·j; AE = 2·j; AF = - i + ·j.
R = AB + AC + AD + AE + AF = 6i + 6·j.
|R| = .

Условие задачи 9

Даны точки А(- 2, 3, - 4), В(3, 2, 5), С(1, - 1, 2) и D(3, 2, - 4). Вычислите прCDAB.
Ответ. .

Подсказка к задаче 9

Воспользуйтесь соотношением между скалярным произведением векторов и проекцией одного из них на направление другого.

Решение задачи 9

AB·CD = |CD|·прСВAB.
AB(5, - 1, 9); CD(2, 3, - 6); |CD| = 7.
5·2 + (- 1)·3 + 9·(- 6) = 7·прCDAB,
откуда
прCDAB = .

Условие задачи 10

Даны вершины четырёхугольника А(1, - 2, 2), В(1, 4, 0), С(- 4, 1, 1,) и D(- 5, - 5, 3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.

Подсказка к задаче 10

Покажите, что векторы АС и BD взаимно перпендикулярны.

Решение задачи 10

AС(- 5, 3, - 1); BD(- 6, - 9, 3); АС ^ BD, так как (- 5)·(- 6) + 3·(- 9) + (- 1)·3 = 0.

Условие задачи 11

Найти угол между биссектрисами углов xOz и yOz.

Подсказка к задаче 11

Определите координаты каких-нибудь векторов а1 и а2 на каждой из биссектрис и найдите угол иежду этими векторами.

Решение задачи 11

На плоскости xOz выберем вектор а1 (1, 0, 1), на плоскости уOz выберем вектор а2 (0, 1, 1). Концы этих векторов одинаково удалены от соответствующих координатных осей, следовательно сами векторы направлены по соответствующим биссектрисам. Воспользовавшись формулой угла между векторами, найдём

Условие задачи 12

В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС проведены медианы AN и BM из вершины острых углов. Вычислить угол φ между ними.
Ответ. cos φ = 0,8.

Подсказка к задаче 12

Приняв катеты за орты координатных осей, выразите медианы через катеты. Найдите угол между двумя векторами.

Решение задачи 12

Условие задачи 13

Из одной точки А проведены векторы а(- 12, 16) и b(12, 5). Найдите координаты единичного вектора е, проведённого из той же точки и делящего угол между а и b пополам.
Ответ. .

Подсказка к задаче 13

Если на данных векторах а и b построить ромб, то его векто-диагональ с началом в точке А будет одинаково направлен с вектором е (диагональ ромба делит его углы пополам).

Решение задачи 13

Находим единичные векторы е1 и е2 одинаково направленные с векторами а и b соответственно , откуда
,

Условие задачи 14

Найдите направляющие косинусы биссектрисы угла В треугольника с вершинами А(2, - 1, 3), В(4, 0, 1), С(- 10, 5, 3).
Ответ. .

Подсказка к задаче 14

Найдите координаты вектора d, являющегося суммой единичных векторов, направленных одинаково с векторами ВА и ВС (см. задачу 13)

Решение задачи 14

BA (- 2, - 1, 2); BC(- 14, 5, 2).
– единичный вектор, направленный одинаково с вектором ВА;
– единичный вектор, направленный одинаково с вектором ВС.

Условие задачи 15

Найдите направляющие косинусы вектора b, перпендикулярного к оси Oz и к вектору а(- 4, 3, 0).

Подсказка к задаче 15

Проекция вектора b на ось Oz равна 0. Одна из остальных двух координат вектора b выбирается произвольно, поскольку длина его несущественна для данной задачи.

Решение задачи 15

Пусть Хd = 1; тогда имеем b(1, Y, 0). Координату Y находим из условия перпендикулярности векторов а и b: a·b = 0 или (- 4)·1 + 3y + 0·0 = 0, откуда .

Условие задачи 16

Дан треугольник с вершинами А(4, 1), В((7, 5), С(- 4, 7). Найдите точку М пересечения биссектрисы угла А с противолежащей стороной ВС.
Ответ. .

Подсказка к задаче 16

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Решение задачи 16

Точка М делит отрезок ВС в отношении


Условие задачи 17

Найдите центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами А(2, 1), В(- 3, 2), С (- 1, 1).
Ответ.

Подсказка к задаче 17

Найдите уравнение перпендикуляров к сторонам треугольника, проходящих через их середины. Искомый цент О – точка пересечения этих перпендикуляров.

Решение задачи 17

В ПАКЕТЕ MAPLE
>restart:with(geometry):
>triangle(T,[point(A2,2,1),point(A1,-3,2),point(A3,-1,1)]):
>circumcircle(C,T,'centername'=OO):
>draw([C(color='COLOR'(RGB,1.00000000,1.00000000,.8000000000),filled=true),T(color=blue)],axes=NORMAL);
>_EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName := n:
>center(C), coordinates(center(C));
>radius(C);
>Equation(C);
и – соответственно середины сторон АВ и АС. АВ (- 5, 1) – нормальный вектор прямой КО; АС (- 3, 0) – нормальный вектор прямой LO.
(KO) ; 5x - y + 4 = 0;
(LO) ; 2x - 1 = 0.
Решив систему получаем

Условие задачи 18

Составить уравнение сторон треугольника АВС по их серединам Р(2, - 1); Q(- 3, 3) R(- 1, 0).
Ответ. 3x - 2y - 8 = 0; x + 3y + 12 = 0, 2x + 5y + 2 = 0.

Подсказка к задаче 18

Через каждую из данных точек проведите прямую, параллельную вектору, образованному двумя другими точками.

Решение задачи 18

PQ (- 5. - 2); OR (2, 3); PR (- 3, 1). (AB||QR) или 3x - 2y - 8 = 0.
(BC||PR или x + 3y + 12 = 0.
(AC||PQ) или 2x - 5y + 2 = 0.

Условие задачи 19

Луч света, направленный по прямой 2х - 3у - 4 = 0, отражается от оси абсцисс. Найти уравнение отражённого луча.
Ответ. .

Подсказка к задаче 19

Угол падения равен углу отражения. Следовательно, сумма углов наклона падающего и отражённого лучей к оси абсцисс равна π

Решение задачи 19

Решив систему молучаем общую точку М(2, 0) падающего и отражённого лучей. Угловой коэффициент k падающего луча равен . угловой коэффициент k1 отражённого луча равен
(tg α1 = - tg(π - α)).
Уравнение отражённого луча: y - yM = k1·(x - xM) или .

Условие задачи 20

Написать уравнение сторон ромба с диагоналями 12 см и 8 см, приняв меньшую диагональ за ось Ох, а большую за ось Оу.
Ответ. 3x + 2y - 12 = 0, 3x - 2y - 12 = 0, 3x - 2y + 12 = 0, 3x + 2y + 12 = 0.

Подсказка к задаче 20

Запишите искомые уравнения в виде «уравнений в отрезках».

Решение задачи 20

или 3x + 2y - 12 = 0;
или 3x - 2y - 12 = 0;
или 3x - 2y + 12 = 0;
или 3x + 2y + 12 = 0.

Условие задачи 21

Найдите точку М1, симметричную точке М(8, - 9) относительно прямой l с уравнением x + 2y + 5 = 0.
Ответ. М1 (10, - 5).

Подсказка к задаче 21

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой l (нормальный вектор прямой l является направляющим вектором этой прямой). Точка пересечения этих прямых делит отрезок М1М пополам.

Решение задачи 21

или 2х - у - 25 = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой l. Решив систему
получаем точку Q(9, - 7) пересечения этих прямых. Подставив в соотношения
координаты точек М и Q и решив полученные уравнения, найдём точку Q(10, - 5)ю

Условие задачи 22

На прямой l с уравнением 2х - у - 10 = 0 найти точку Q, сумма расстояний которой до точек А(- 5, 0) и В(- 3, 4) была бы наименьшей.
Ответ. Q(4, - 2).

Подсказка к задаче 22

Найдите координаты точки А1, симметричной точке А относительно прямой l (см. указание к задаче 21). Q есть точка пересечения прямых l и А1В. (QB + QA1 = QB + QA и QB + QA1 < MB + MA1 для всякой точки М данной прямой, не совпадающей с Q).

Решение задачи 22

или х + 2у + 5 = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой l. Решив систему
получаем точку Р(3, - 4) пересечения этих прямых
откуда А1(11, - 8). Далее
или 6х + 7у - 10 = 0 –уравнение прямой А1В. Решив систему
получаем точку Q(4. - 2).

Условие задачи 23

Найти уравнения сторон квадрата ABCD с вершинами А(2, 1) и В(- 2, 4).
Ответ. 3х + 4у - 10 = 0, 4х - 3y + 20 = 0, 4x - 3y - 5 = 0, 3x + 4y - 35 = 0 или 3х + 4у + 15 = 0.

Подсказка к задаче 23

Направляющий вектор прямой АВ является нормальным вектором прямых ВС и AD. Уравнение стороны DC можно найти, воспользовавшись формулой расстояния от точки до прямой.

Решение задачи 23

(АВ) или 3х + 4у - 10 = 0;
(ВС) или 4х - 3у + 20 = 0;
(AD) или 4х - 3у - 5 = 0;
   Пусть М(х, у) – произвольная точка прямой DC. Тогда
т.е. или ,
откуда уравнение АВ – 3х + 4у - 35 = 0 или 3х + 4у + 15 = 0.

Условие задачи 24

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, - 2, 5) и перпендикулярной радиусу-вектору этой точки.
Ответ. х - 2у + 5z - 29 = 0.

Подсказка к задаче 24

Радиус-вектор точки М есть нормальный вектор искомой плоскости.

Решение задачи 24

Уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, - 2, 5) и перпендикулярной вектору ОМ(1, - 2, 5):
1·(x - 1) - 2·(y + 2) + 5·(z - 5) = 0
или x - 2y + 5z - 29 = 0.

Условие задачи 25

Определите объём V тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 2х - 3у + 6z - 12 = 0.
Ответ. 8 куб. ед.

Подсказка к задаче 25

Приведите уравнения данной плоскости к виду «в отрезках».

Решение задачи 25

– уравнение данной плоскости в отрезках. Приняв грань тетраэдра, лежащего в плоскости хОу, за его основание, получим Sосн = ½·6·2 = 6 кв. ед.; высота h = |- 4| = 4; .

Условие задачи 26

Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости 3х - 6у - 2z + 14 = 0 и отстоящей от неё на расстояние, равное 3 единицам.
Ответ. 3х - 6у - 2z + 35 = 0, 3х - 6у - 2z - 7 = 0.

Подсказка к задаче 26

Приравняйте трём расстояние от произвольной точки М(х, у, z) искомой плоскости до данной плоскости.

Решение задачи 26

,
что равносильно совокупности уравнений
,
которые и являются искомыми. Упростив их, получаем
3x - 6y - 2z - 7 = 0, 3x - 6y - 2z + 35 = 0.

Условие задачи 27

Дан тетраэдр с вершинами А(- 1, 2, 5), В(0, - 4, 5), С(- 3, 2, 1), D(1, 2, 4). Найдите уравнение плоскостей, проходящих через вершину D и перпендикулярных рубрам АВ, ВС и СА.
Ответ. x - 6y + 11 = 0, 3x - 6y + 4z - 7 = 0, x + 2z - 9 = 0.

Подсказка к задаче 27

Векторы AB, BC и СА – нормальные векторы искомых плоскостей.

Решение задачи 27

АВ (1, - 6, 0); BC (- 3, 6, - 4); CA (2, 0, 4);
1·(x - 1) - 6·(y - 2) + 0·(z - 4) = 0 или x - 6y + 11 = 0;
- 3·(x - 1) + 6·(y - 2) - 4·(z - 4) = 0 или 3x - 6y +4z - 7 = 0;
2·(x - 1) - 0·(y - 2) + 4·(z - 4) = 0 или x + 2z - 9 = 0;

Условие задачи 28

Составьте уравнение плоскости Р, параллельной оси Oz и проходящей через точки М1(1, 2, 3) и М2(- 2, 4, 5).
Ответ. 2x + 3y - 8 = 0.

Подсказка к задаче 28

Воспользуйтесь компланарностью орта оси Oz с векторами M1M2 и M1M (или M2M), где М – произвольная точка плоскости Р.

Решение задачи 28

К(0, 0, 1) – орт оси Oz. M1M2 (- 3, 2, 2), M1M (х - 1, у - 2, z - 3). Уравнение плоскости Р:
,
или 2х +3у - 8 = 0.

Условие задачи 29

Найдите проекцию М1 точки М(2, 3, 4) на плоскость Р с уравнением x + 2y -3z - 24 = 0.
Ответ. М1(4, 7, - 2).

Подсказка к задаче 29

Найдите уравнения перпендикуляра l, опущенного из точки М на плоскость Р, и общую точку Р и l.

Решение задачи 29

– уравнение прямой l. Рещая совместно параметрические уравнения прямой l
  1. x = t + 2,
  2. y = 2t + 3,
  3. z = -3t + 4,
и уравнение плоскости Р х + 2у - 3z - 24 = 0, получаем t = 2 и М(4, 7, - 2).

Условие задачи 30

Найдите геометрическое место точек плоскости xOz, равноудалённых от плоскостей
2x + y - 2z = 3 и 3x + 12y - 4z = 26.
Ответ. 17x - 14z + 39 = 0, 35x - 38z - 117 = 0.

Подсказка к задаче 30

Уравнения искомого геометрического места получается из равенства расстояний его произвольной точки М(х, 0, z) до каждой из данных плоскостей.

Решение задачи 30

, что равносильно совокупности двух уравнений
.
Упростив эти уравнения, получаем
17x - 14z + 39 = 0; 35x - 38z - 117 = 0 (две прямые в плоскости xOz).

Условие задачи 31

Даны уравнения граней тетраэдра:
  1. 1) x + 2y - 3z - 6 = 0,
  2. 2) 2y + 5z - 4 = 0,
  3. 3) 3x + z + 1 = 0,
  4. 4) x + 2y = 0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро, определяемое первыми двумя гранями, и параллельной противоположному ребру тетраэдра.
Ответ. 16x + 50y - 3z - 132 = 0.

Подсказка к задаче 31

Найдите направляющие векторы s1 и s2 каждого из рёбер и какую-нибудь точку М на первом ребре. Воспользуйтель признаком компланарности трёх векторов.

Решение задачи 31

Пусть zM = 0. Решив систему
получим хМ = 2, уМ = 2. ИСкомое уравнение:
или 16х + 50у - 3z - 132 = 0.

Условие задачи 32

В квадрате ABCD проведены прямые АЕ и AF, делящие противоположные стороны пополам. Найдите угол φ между этими прямыми.
Ответ. cos φ = 4/5.

Подсказка к задаче 32

Примите векторы АВ и АС за орты координатных осей.

Решение задачи 32

Условие задачи 33

Найдите направляющий вектор s прямой

Подсказка к задаче 33

Направляющий вектор s данной прямой перпендикулярен каждому из нормальных векторов N1 и N2 данных плоскостей, откуда s = N1×N2.

Решение задачи 33

N1(1, - 1, - 1); N2(1, - 1, 2);

Условие задачи 34

В параллелепипеде, построенном на векторах а = 3i + 2j, b = 2i + 3j, c = i + 2j + 3k, определите длину высоты h, опущенной на грань (а, b).
ответ. h = 3.

Подсказка к задаче 34

Найдите площадь S грани (а, b) и объём параллелепипеда.

Решение задачи 34

,

Условие задачи 35

Докажите, что прямые и пересекаются, и найдите точку М их пересечения.
Ответ. (2, - 3, 5).

Подсказка к задаче 35

Докажите, что данные прямые лежат в одной плоскости. Сравните отношения одноименных координат направляющих векторов данных прямых. Координаты точки М должны удовлетворять уравнениям двух плоскостей, задающих одну из прямых, и уравнению любой плоскости, проходящей через данную пряму.

Решение задачи 35

Найдём смешанное произведение направляющих векторов s1(1, 7, 3) и s2(1, 4, 10) данных прямых и вектора М1М2, где М1 (0, - 17, - 1) – точка на первой прямой, а М2 – точка на второй прямой.
,
следовательно, данные прямые лежат в одной плоскости , следовательно, данные прямые не параллельны. Решив систему
получаем точку М(2, - 3, 5).

Условие задачи 36

Найдите расстояние от точки М(1, - 1, - 2) до прямой .
Ответ. 7 ед.

Подсказка к задаче 36

Составьте уравнение плоскости Q, проходящей через точку М и перпендикулярной к данной прямой. Найдите точку N пересечения данной прямой с плоскостью Q. MN – искомое расстояние (докажите это).

Решение задачи 36

Направляющий вектор s(3, 2, - 2) данной прямой является нормальным вектором плоскости Q.
3·(x - 1) + 2·(y + 1) - 2·(z + 2) = 0 или 3x + 2y - 2z - 5 = 0 – уравнение плоскости Q.
= t, откуда получаем параметрическое уравнение прямой
x = 3t - 3, y = 2t - 2, z = -2t + 8.
Решив это уравнение совместно с уравнением плоскости Q, получим точку N(3, 2, 4).

Условие задачи 37

Найдите расстояние d между прямыми
и
Ответ. d = 3.

Подсказка к задаче 37

Прямые l1 и l2 параллельны, так как имеют один и тот же направляющий вектор s(3, 4, 2). Найдите расстояние от какой-нибудь точки одной из прямых до другой прямой (см. задачу 36).

Решение задачи 37

А(2, - 1, 0) – точка прямой l1.
3·(x - 2) + 4·(y + 1) + 2·z = 0 иди 3x + 4y + 2z - 2 = 0 – уравнение плоскости Q, проходящей через точку А и перпендикулярной данным прямым. Решив совместно это уравнение с параметрическим уравнением прямой l2
x = 3t + 7, y = 4t + 1, z = 2t + 3,
получим t = - 1 и точку В(4, - 3, 1) пересечения Q с l.

Условие задачи 38

Определите расстояние d между прямыми и
Ответ.

Подсказка к задаче 38

  1. Убедитесь в том, что данные прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости (см. задачу 35).
  2. d равно расстоянию от любой точки одной из прямых до плоскости Q, проходящей через другую прямую и параллельную первой прямой.

Решение задачи 38

следовательно, данные прямые скрещиваются.
или x + y - z + 2 = 0 – уравнение плоскости, проходящей через первую прямую и параллельную второй прямой. М(0, - 1, 2) – точка второй прямой.

Условие задачи 39

Зеркало лежит в плоскости Р с уравнением 2x - 6y + 3z - 42 = 0. Найдите координаты зеркального отражения А1 точки А(3, - 7, 5).
Ответ. .

Подсказка к задаче 39

Найдите параметрические уравнения перпендикуляра l к плоскости Р, проходящего через точкуА и середину В отрезка АА1 (точку пересечения прямой l с плоскостью Р).

Решение задачи 39

Нормальный векторN(2, - 6, 3) плоскости Р является направляющим вектором прямой l; , откуда получаем x = 2t + 3, y = - 6t + 7, z 3t + 5 – параметрические уравнения прямой l. Подставив в уравнение плоскостиР вместо х, у, z их выражения через t, получим t = - 3/7. Подставив найденное значение t в параметрические уравнения прямой l, получим точку . Из соотношений
или
имеем А1

Условие задачи 40

Найдите уравнение диаметра dокружности x ² + y ² + 4x - 6y - 17 = 0, перпендикулярного прямой 3x + 2y - 13 = 0.
Ответ. 2x - 5y + 19 = 0.

Подсказка к задаче 40

Найдите координаты центра окружности; для этого приведите уравнение окружности к виду (x - a)² + (y - b)² = R².

Решение задачи 40

x ² + y ² + 4x - 6y - 17 = (x ² + 4x + 4) - 4 + (y ² - 6y + 9) - 9 - 17 = (x + 2)² + (y - 3)² - 30, откуда имеем O(- 2, 3). Нормальный вектор N(5, 2) данной прямой является направляющим вектором прямой d. Уравнение d: или 2x - 5y + 19 = 0.

Условие задачи 41

Составьте уравнение окружности с центром С(3, - 1), отсекающей на прямой 2x - 5y + 18 = 0 хорду АВ длиной 6 ед.
Ответ. x ² + y ² - 6x + 2y - 28 = 0.

Подсказка к задаче 41

Радиус является гипотенузой прямоугольника CDB, катет CD которого равен расстоянию от центра до хорды.

Решение задачи 41

DB = 3;
R² = CB² = DB² + CD² = 38. Уравнение окружности (x - 3)² + (y + 1)² = 38 или x ² + y ² - 6x + 2y - 28 = 0.

Условие задачи 42

Составьте уравнение касательной к окружности (x + 2)² + (y - 3)² = 25 в точке А(- 5, 7).
3х - 4у + 43 = 0.

Подсказка к задаче 42

Определите нормальный вектор искомой прямой, пользуясь тем, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной.

Решение задачи 42

С(- 2, 3); R = CA (- 3, 4) – нормальный вектор искомой касательной. Уравнение касательной: -3·(x + 5) + 4·(yy - 7) = 0 или 3x - 4y + 43 = 0.

Условие задачи 43

Найти уравнение сферы с центром В(1, 0, - 2), касающейся плоскости 2x - y + 2z + 11 = 0.
Ответ. x ² + y ² + z ² - 2x + 4z + 1 = 0.

Подсказка к задаче 43

Радиус сферы равен расстоянию от точки С до данной плоскости.

Решение задачи 43

Уравнение сферы (х 1)² + y² + (z + 2)² = 4 или x ² + y ² + z ² - 2x + 4z + 1 = 0.

Условие задачи 44

Докажите, что линия, как геометрическое место точек, произведение расстояний которой до точек А(- 2, 0) и В(2, 0) равно 4, симметрична относительно координатных осей и начала координат.

Подсказка к задаче 44

Составьте уравнение линии и проверьте, как вличет на это уравнение замена а) х на - х, б) у на - у.

Решение задачи 44

Пусть М(х, у) – произвольная точка линии, МА·MB = 4 или , откуда [(x + 2)² + y²]·[(x - 2)² + y²] = 16 или x4 + 8x ² + y4 + 8y ² + 2²·y ² = 0. При замене х на - х и у на - у уравнение не меняется; следовательно, линия симметрична относительно координатных осей и начала координат.

Условие задачи 45

Составьте каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1(3; 2,4) и М2(4; 1,8).

Подсказка к задаче 45

Составьте систему двух уравнений с неизвестными а и b, используя общий вид канонического уравнения эллипса и условие принадлежности эллипсу точек М1 и М2.

Решение задачи 45

пусть , а ; тогда
Решив эту систему, получим
– уравнение эллипса.

Условие задачи 46

Найдите эксцентрисистет равнобочной гиперболы.
Ответ. .

Подсказка к задаче 46

Выразите с через а или b, воспользовавшись равенством а и b.

Решение задачи 46

c² = a² + b², поскольку а = b, то с² = 2·a² и .

Условие задачи 47

Фокусное расстояние f зеркала прожектора, имеющего вид параболоида вращения, равно 40 см, а диаметр d зеркала равен 80 см. Определите глубину l зеркала.
Ответ. 10 см.

Подсказка к задаче 47

Составьте каноническое уравнение параболы, выбрав соответствующим образом систему координат. Искомая глубина равна модулю координаты конца диаметра АВ зеркала, лежащего в плоскости чертежа.

Решение задачи 47

f = ½·p; p = 2·f = 80. y² = 2·px; в данном случае y² = 160·x.
yA = ½·d = 40,
l = 10 см.

Условие задачи 48

Определите вид линии ρ = 3·sec φ и её положение относительно прямоугольной системы координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью.

Подсказка к задаче 48

Перейдите к прямоугольным координатам. Воспользуйтесь соотношением х = ρ·cos φ.

Решение задачи 48

окуда или х = 3 – прямая, параллельная оси ординат и отстоящая от неё вправо на расстояние, равное 3 ед.

Условие задачи 49

Как запишется уравнение окружности с радиусом а в полярной системе координат, полюс которой совпадает с центром окружности?