ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВЫБОР ЗАДАНИЯ

  1. Задача 1.
  2. Задача 2.
  3. Задача 3.
  4. Задача 4.
  5. Задача 5.
  6. Задача 6.

Задача 1

   Даны вершины А(5; 3), В(− 11; − 9), С(− 4; 15). Требуется найти:
  1. уравнение стороны АС,
  2. уравнение высоты, проведённой из вершины В,
  3. длину высоты, проведённой из вершины А,
  4. величину (в радианах) угла В,
  5. уравнение биссектрисы угла В.

Р е ш е н и е. Выполним рисунок задачи

   А. Для нахождения уравнения стороны АС воспользуемся уравнением стороны, проходящей через две заданные точки
.(1.1)
С учётом данных задачи имеем
   Б. Для нахождения уравнения высоты, проведённой из вершины В, воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку В
y + 9 = k·(x + 11).(1.2)
Воспользовавшись условием перпендикулярности двух прямых, находим угловой коэффициент искомой высоты
.(1.3)
Подставив (1.2) в (1.3) получим уравнение искомой высоты
.
   В. Для того, чтобы найти длину высоты, проведённой из вершины А, найдём уравнение стороны ВС (смотри уравнение 1.1):
Используя полученное уравнение стороны ВС, формулу расстояния от точки до прямой
,
и данные задачи, получим окончательно искомое расстояние
   Г. Для того, чтобы найти величину (в радианах) угла В, найдём координаты векторов, имеющих своим началом точку В
BA = (5 + 11; 3 + 9) = (16; 12), BC = (− 4 + 11; 15 + 9) = (7; 24).
Используя формулу косинуса угла через скалярное произведение, получим далее величину косинуса угла между этими векторами
   Д. Для того, чтобы найти уравнения биссектрисы угла В, составим уравнение стороны АВ (рисунок):
Аналогично составим уравнение стороны АВ:
.
Уравнения биссектрис угла имеют вид
.
Подставляя в уравнения биссектрис числовые значения, получим

Задача 2

  Даны вершины А1(7; 0; 3), А2(3; 0; 1), А3(3; 0; 5), А4(4 ; 3; − 2). Средствами векторной алгебры найти:
  1. длину ребра А1А2;
  2. угол (в градусах, минутах и секундах) между рёбрами А1А2 и А1А3;
  3. площадь грани А1А2А3;
  4. объём пирамиды А1А2А3А4;
  5. длину высоты пирамиды, проведённой из вершины А4;
  6. уравнение высоты пирамиды, проведённой из вершины А4;
  7. точку пересечения высоты пирамиды, проведённой из вершины А4, с плоскостью грани А1А2А3.
   Р е ш е н и е. Выполним чертёж к решению задачи I.   Для того, чтобы найти длину ребра А1А2, найдём координаты вектора
.(1.4)
Длину искомого ребра А1А2 найдём как длину вектора
(1.5)
II.  Для того, чтобы найти угол между рёбрами А1А2 и А1А3, найдём координаты вектора
.(1.6)
Для того, чтобы воспользоваться формулой косинуса угла между векторами
,(1.7)
найдём длину вектора (1.6)
(1.8)
и (1.4), (1.5), (1.6), (1.8) подставим в (1.7)
.
Используя таблицы тригонометрических функций или другие технические возможности, найдём искомый угол
III.   Для того, чтобы найти площадь грани А1А2А3, найдём векторное произведение векторов и .
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю этого векторного произведения. Известно, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, поэтому получим окончательно
.
IV.   Для того, чтобы найти высоту пирамиды, проведённой из вершины А4, составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А1, А2, А3
(1.9)
Раскладывая определитель (1.9) по первой строке, и проводя алгебраические преобразования, получим уравнение этой плоскости
Основанием пирамиды служит координатная плоскость Оyz. Высоту пирамиды мы найдём после того, как найдём объём V пирамиды.
   Объём пирамиды А1А2А3А4 найдём через смешанное произведение векторов, исходящих через вершину А1 (1.4), (1.6) и
,
Составляя смешанное произведение векторов в координатной форме, получим объём пирамиды как 1/6 часть объёма параллелепипеда
Учитывая, что , найдём длину искомой высоты, она равна 3.
VI.    Для того, чтобы найти уравнение высоты пирамиды, проведённой из вершины А4, необходимо знать направляющий вектор этой прямой. Этот вектор является нормальным к плоскости основания пирамиды.
Из п. IV ясно, что нормальный вектор искомой прямой есть n (0; 1; 0).
Используя каноническое уравнение прямой в пространстве
и подставляя в это уравнение данные задачи, получим окончательно уравнение искомой высоты
.(1.10)
VII.   Для того, чтобы найти точку пересечения высоты пирамиды, проведённой из вершины А4, с плоскостью грани А1 А2 А3, необходимо уравнение высоты (1.10) записать в параметрическом виде
(1.11)
Соотношения (1.11) подставим в уравнение грани А1А2А3 (см. п. IV) и получим уравнение относительно параметра t, из которого найдём значение параметра t = − 3, при котором происходит пересечение прямой с плоскостью. Найденное значение параметра t = − 3 подставим в (1.11) и получим координаты точки (4; 0; − 2), в которой высота пересекает плоскость основания.

Задача 3

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3; − 4) и уравнения двух высот h1: 7·х − 2·у – 1 = 0, h2: 2·х – 7·у – 6 = 0.
   Р е ш е н и е. Выполним рисунок
Так как известны уравнения высот, то известны координаты нормальных векторов этих высот n1(7; – 2) и n2(2; – 7). Так как стороны треугольника АВ и АС должны быть перпендикулярными этим высотам то для вывода уравнения этих сторон воспользуемся формой уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
,
.
Другие вершины треугольника найдём как точки пересечения сторон АВ и АС и высотами h1 и h2. Для этого составим системы уравнений
(1.12)
(1.13)
   Координаты вершины В найдём из решения системы (1.12) В = (– 4; – 2), координаты вершины С найдём из решения системы (1.13) С = (1; 3).
   Уравнение стороны ВС построим, воспользовавшись формой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
.(1.14)
Из уравнения (1.14) окончательно получим уравнение стороны ВС: x – y + 2 = 0.
   Ответ: Уравнения сторон:
AB: 2·x + 7·y + 22 = 0,
AC: 7·x + 2·y – 13 = 0,
BC: x – y + 2 = 0.

Задача 4

   Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2; – 2) вдвое меньше, чем от прямой х + 1 = 0.
   Р е ш е н и е. По условию MD = 2·MA. Это условие можно расписать как
.
Возводя обе части в квадрат, получим
x2 + 2x + 1 = 4 (x2 − 4x + 4 + y2 + 4y + 4,
x2 + 2x + 1 = 4 x2 + 4y2 − 16x + 16y + 32,
3 x2 + 4y2 − 18x + 16y + 31 = 0,
что является уравнением эллипса. Смотри рисунок
З а д а ч а 5.  Написать каноническое уравнение прямой, получаемой пересечением двух плоскостей
6·х – 7·у – z – 2 = 0; х + 7·у – 4·z – 5 = 0.
   Р е ш е н и е. N1 = (6; − 7; − 1), N2 = ( 1; 7; − 4) — нормальные векторы этих плоскостей. Тогда S – направляющий вектор искомой прямой найдём через векторное произведение нормальных векторов
   Найдём произвольную точку, через которую проходит прямая, например на координатной плоскости хОу. Составим систему уравнений плоскостей, положив в этих уравнениях z = 0
Решением этой системы уравнений будет М0 (1; 4/7; 0). Подставим в каноническое уравнение прямой
численные данные m = 36, n = 23, l = 49

Задача 6

   Линия задана уравнением r = r (φ) в полярной системе координат.
   Требуется:
1)  построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2·π и придавая φ значения через промежуток π/8,
2)  найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
3)  назвать линию.
   Р е ш е н и е. Составим таблицу значений функции, разбив интервал [0; 2π], начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8.
   В связи с тем, что таблица получается длинная, её располагаем вертикально
   Из начала координат проведём лучи, соответствующие углам, указанным в первом столбце таблицы. Далее на этих лучах отложим расстояния от начала координат, соответствующие данным во втором столбце таблицы. Получим точки, соединив которые плавной линией, получим кривую. Эта линия называется эллипсом, выбранное начало координат будет являться фокусом этого эллипса.