examp3

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВЫБОР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Пример 1

Показать числа z₁ = − 2 + 3·i и z₂ = 1 + 2·i в виде векторов, выполнить действие z₁·z₂ c комплексными числами, найти модуль и в радианах аргумент результата по модулю и аргументу заданных комплексных чисел. Результат представить в показательной и графической форме.
Решение. Находим модули данных комплексных чисел

. Находим аргументы данных комплексных чисел

. Выполним действие умножения в алгебраической форме z₁·z₂ = (− 2 + 3i )·(1 + 2i ) = − 2 − 4 i + 3 i − 6 = − 8 − i. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей

. Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей arg (z₁·z₂) = arg z₁ + arg z₂ = 2,1588 + 1,1071 = 3,2659. Результат в показательной форме представляется в виде z₁·z₂ = 8,0623·e ^{i 3,2659}. Представим результат в графической форме.

Пример 2

Решить квадратное уравнение x² + 2 x + 10 = 0, проверить подстановкой корни, показать расположение корней на координатной плоскости, найди модуль и аргументы корней.
Решение.

. Проверим эти корни подстановкой

. Найденные комплексные числа удовлетворяют уравнению, значит, являются его корнями.
Найдём модуль и аргументы комплексных корней

Представим комплексные корни на плоскости

Пример 3

   Методом хорд и касательных найти действительный корень уравнения
F(x) = х³ – 3·х + 5 = 0                               (3.1) с точностью до 0,00001.
   Р е ш е н и е. Представим уравнение в виде х³ = 3·х – 5                                                (3.2) и построим графики левой и правой частей уравнения (3.2). Из рисунка видно, что точка пересечения этих графиков находится в интервале (− 2,5; − 2). Вторая производная правой части соотношения (3.1) F ''(x) = 6·x < 0 на этом интервале. Составим таблицу вычисления в EXEL. Точкой а обозначим ту точку, в которой будем применять метод касательной. В этой точке знак функции должен совпадать со знаком второй производной.
   Формулы вычисления a_i+1 = a_i + Δ a_i, b_i+1 = b_i + Δ b_i,
где

есть поправка к формуле касательных, а

есть поправка к формуле хорд. В данном примере F ' = 3 x ² − 3

Таблица 1

	x_i	F	F ′	Δ a_i	Δb_i	a_i − b_i
a	− 2,5	− 3,125	15,75	0,198412698	− 0,244897959	− 0,5
b	-2	3
a	− 2,3015873	− 0,28744596	12,8919123	0,022296611	− 0,03370047	− 0,0566893
b	− 2,24489796	0,421380547
a	− 2,27929069	− 0,00342154	12,5854981	0,000271864	− 0,00042029	− 0,0006922
b	-2,278598429	0,005287637
a	-2,279018826	-5,0E-07	12,5817804	4,01665E-08	-6,2E-08	-1,0E-07
b	-2,279018724	7,815E-07

Из таблицы видно, что искомых корень находится в интервале х

[− 2,279018826; − 2,279018724]. Ответ: х ≈ − 2,279018826.

Пример 4

Найти тангенс угла наклона касательной к линии, заданной параметрически x = 2·t² − 3·t, y = − t² в точке, соответствующей значению параметра t = 2.
Р е ш е н и е. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в данной точке. Найдём производную функции, заданной параметрически, при данном значении параметра t = 2

Пример 5

Найти указанные пределы не пользуясь правилом Лопиталя.
1. Вычислить предел

. 2. Вычислить предел

. 3. Вычислить предел

4. Вычислить предел

5. Вычислить предел

Пример 6

Найти значение параметра а, при котором функция

будет непрерывна. Построить схематически график функции.
Р е ш е н и е. Функция непрерывна в точке х = х₀, если для неё выполнены равенства

	.	(3.3)

Вычисляем левый предел функции

	.	(3.4)

Вычисляем правый предел функции

	.	(3.5)

Удовлетворяя (3.4), (3.5) условию 3.2), получим уравнение 4·а – 1 = 3, из которого находим а = 1.Построим графики функции при этом значении параметра.
Итак, искомая функция имеет вид