ВВЕРХ
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Пример 1
1) Найти производную функции
.
Р е ш е н и е.
2) Найти производную функции
.
Р е ш е н и е:
3) Найти производную функции
.
Р е ш е н и е. Упростим функцию, используя свойства логарифма
.
Эту функцию легче дифференцировать, чем исходную, поэтому
4) Найти производную функции
.
Р е ш е н и е:
Пример 2
Под каким углом пересекаются графики функций
у = f1(x) = x2 и у = f2(x) = − 2·х + 3.
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков из уравнения
f1 (x) = f2(x)
или
x2 = − 2·х + 3.
Решением этого уравнения являются х1 = − 3 и х2 = 1 (Смотри рисунок).
Углом, под которым пересекаются линии, понимается угол между касательными, проведёнными к линиям в точке их пересечения. Производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в данной точке, поэтому угол, под которым пересекаются линии, найдём по формуле
,
,
поэтому тангенс угла пересечения в точке х = 1 равен
.
Для точки с х = -3 будем иметь
и тангенс угла пересечения в точке х = - 3 найдём соотношением
.
О т в е т: 
, 
.
Пример 3
Пользуясь определением производной, найти производную функции
.
Р е ш е н и е. Производной функции в данной точке называется предел
,
если он существует. Для данной функции нахождение производной сводится к нахождению предела вида
.
Избавляясь от иррациональности в числителе и пользуясь правилами вычисления пределов, будем далее иметь
Пример 4
Найти предел функции, используя правило Лопиталя
Пример 5
Вычислить приближённо 
с помощью дифференциала и найти относительную погрешность вычисления.
Р е ш е н и е. Определение дифференциала позволяет получить приближённую формулу для вычисления значений функции в некоторой окрестности S(x0,Δ) точки х0. Полагая Δf(x) ≈ df(x) получим приближённую формулу f (x) ≈ f (x0) + df (x0)
При х ®х0 погрешность этой формулы есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. В этом случае функция имеет вид 
, где x = 0,24.
Примем х0 = 8. В этом случае 
.
Δx = x − x0 = 8,24 − 8 = 0,24.
Найдём производную функции в точке х0 = 8
.
Найдём дифференциал функции:
.
Используя формулу линеаризации, получим окончательно
.
Непосредственным вычислением находим 
и в этом случае относительная погрешность равна
.