examp5

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВЫБОР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

. на отрезке [− 2; 5].
Р е ш е н и е. Область определения этой функции представляет множество всех действительных чисел. Непрерывная функция достигает своего максимального и минимального значения или на концах интервала или в точках экстремума внутри отрезка.
Найдём значения функции на концах интервала [− 2; 5]: f (− 2) = − 2, f (5) = 6. Производная исследуемой функции имеет вид

и имеет точки экстремума х = 1; х = − 1; х = 2. Все три точки экстремума принадлежат рассматриваемому интервалу, и поэтому необходимо вычислить значения функции при всех этих трёх значениях аргумента f (1) = − 2, f (− 1) = f (2) = 0. Сравнивая значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, получим ответ

Пример 2

Исследовать поведение функции y = x² − 4·x − (x − 2)·ln (x − 1) в окрестности точки x₀ = 2 с помощью производных высших порядков.
Р е ш е н и е.
y(2) = 4 − 8 − 0 = − 4 – значение функции в исследуемой точке.
Вычислим первую производную функции:

. Подставим в полученное выражение x₀ = 2: y ' (2) = 4 − 4 − ln 1 = 0. Вычислим вторую производную функции:

. Подставим в полученное выражение x₀ = 2: y ''(2) = 2 − 1 − 1 = 0. Вычислим третью производную функции:

. Подставим в полученное выражение x₀ = 2: y '''(2) = 1 + 2 + 3 > 0. Так как порядок производной отличной от нуля нечётный, то это точка монотонности, так как значение отличной от нуля производной положительно, то это точка возрастания.

Пример3

Провести полное исследование и построить график функции

. Р е ш е н и е. Областью определения функции является множество x

(− ∞, − 1)

(− 1, + ∞). Вычислим левый и правый предел функции в точке х = − 1:

. Таким образом, точка х = − 1 является точкой разрыва второго рода.
Первая производная функции имеет вид

. Найдём интервалы знакопостоянства первой производной.
Вторая производная имеет вид

. Найдём интервалы знакопостоянства второй производной.
Построим таблицу

х	(− 1; − 4)	− 4	(− 4; − 1)	− 1	(− 1; 0)	(0; + ∞)
y '	+	0	–		–	+
y ''	–	–	–		+	+
у

В последней строчке этой таблицы уже отмечаются характерные особенности поведения функции. Отмеченные стрелки стыкуются по точкам с координатами

и (0; 0). Отмеченная тёмным цветом линия с абсциссой х = − 1 является вертикальной асимптотой.
Найдём параметры наклонной асимптоты у = k·x + b :

. Уравнением наклонной асимптоты будет у = x – 3. По полученным данным построим график функции.

Пример 4

Вычислить выражение

(4.1) для функции

(4.2) для заданного значения х = 1.
Решение. Найдём значение функции для заданного значения х = 1

. (4.3) Решением уравнения (4.3) будет

. Из соотношения (4.2) найдём производную неявно заданной функции в точках

. (4.4) Найдём вторую производную неявно заданной функции в точках М_1,2

, (4.5) Подставив (4.4), (4.5) в (4.1) получим окончательно

Пример 5

Равнобедренный треугольник данного периметра р вращается около основания. Каким следует выбрать основание треугольника, чтобы объём тела вращения был наибольшим?
Р е ш е н и е. Пусть АВ = х, тогда боковая сторона

равнобедренного треугольника равна

. По теореме Пифагора найдём высоту треугольника АВС:

. Объём фигуры вращения представляется функцией

, определённой на интервале 0 ≤ x ≤ p/2. На концах интервала объём принимает нулевое значение. Вычислив производную функции и приравняв результат к нулю, получим уравнение р – 4·х = 0, откуда найдём экстремум функции