examp6

ОБРАЗЕЦВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВЫБОР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Найти неопределённый интеграл. Результат проверить дифференцированием.
Р е ш е н и е. П р о в е р к а: .
Найти неопределённый интеграл. Результат проверить дифференцированием.
Р е ш е н и е. П р о в е р к а: .
Найти неопределённый интеграл , результат проверить дифференцированием.
Р е ш е н и е. Интеграл вычислим интегрированием по частям: П р о в е р к а:
Найти неопределённый интеграл . Р е ш е н и е. Интегрирование правильной дробно - рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие рациональные дроби: . Используя свойства неопределённого интеграла, получим
Найти неопределённый интеграл . Р е ш е н и е.
Найти неопределённый интеграл . Р е ш е н и е. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции . В результате указанной замены переменной интегрирования интеграл преобразован к интегралу от дробно- рациональной функции. Выпишем подынтегральную функцию и разложим её на простейшие дроби: ,
   Вычислить объём тела вращения, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями: у = 2 - х²; у = х; х = 0.
   Р е ш е н и е. Построим фигуру вращения.
   Как видно из рисунка, данная фигура разбивается на две, и объём тела вращения равен сумме объёмов V= V₁ + V₂.       Решая систему уравнений находим интервалы интегрирования y [0; 1] [1; 2]. Так как вращение проводится вокруг оси ординат, то для вычисления объёма применяем формулу и тогда       О т в е т: .
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Р е ш е н и е. .
Найти центр тяжести однородной пластины.
Р е ш е н и е. Построим, ограниченной линиями у = х², у = х. Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам . Найдём площадь криволинейной трапеции . Далее находим ,
. Смотри рисунок
Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками при а = 7.
Р е ш е н и е. Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы . Здесь а = 0, b = 7, , где . Находим Из неравенства находим n > 14,15. То есть для достижения указанной точности необходимо интервал интегрирования [0, 7] разбить на 15 частей.
Вычисление интеграла производим по формуле , где , . Вычисления приведём в таблице

i	x_i	49 + x_i²	y_i	y₀, y₁₅	y₁,…y₁₄
0	0,0000	49,0000	7,0000	7,0000
1	0,4667	49,2178	7,0155		7,0155
2	0,9333	49,8711	7,0619		7,0619
3	1,4000	50,9600	7,1386		7,1386
4	1,8667	52,4844	7,2446		7,2446
5	2,3333	54,4444	7,3786		7,3786
6	2,8000	56,8400	7,5392		7,5392
7	3,2667	59,6711	7,7247		7,7247
8	3,7333	62,9378	7,9333		7,9333
9	4,2000	66,6400	8,1633		8,1633
10	4,6667	70,7778	8,4130		8,4130
11	5,1333	75,3511	8,6805		8,6805
12	5,6000	80,3600	8,9644		8,9644
13	6,0667	85,8044	9,2631		9,2631
14	6,5333	91,6844	9,5752		9,5752
15	7,0000	98,0000	9,8995	9,8995
			Суммы	16,8995	112,0961

Таким образом