exemples2

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВЫБОР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Задача 1. Решить матричное уравнение

	.	(2.1)

Решение. Введём обозначения

. В этом случае матричное уравнение примет вид Х·А = В. Умножая справа это матричное соотношение на обратную матрицы А, получим Х·А·А^–1=В·А^–1↔Х = В·А^–1. Или окончательно Х = В·А^–1.
Таким образом, для решения задачи необходимо найти обратную матрицу

Для этого необходимо найти в первую очередь определитель этой матрицы

. Так как определитель матрицы А не равен нулю, то для этой матрицы существует её обратная матрица. Далее необходимо найти алгебраические дополнения элементов матрицы А:

,	,	,
,	,	,
,	,	.

Обратная матрица имеет вид

. Необходимо проверить правильность нахождения обратной матрица по условию А^-1·А = Е:

Обратная матрица найдена правильно. Решение найдём из соотношения Х = В·А^–1.

Итак, найдена матрица Х

	.	(2.2)

П р о в е р к а:

Проверка показывает, что найденная матрица (2.2) удовлетворяет уравнению (2.1).
О т в е т:

.
Задача 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений

	(2.3)

методом Крамера и матричным способом.
Решение. Составим расширенную матрицу

. Главный определитель системы (2.3) равен

Так как главный определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение. Cоставим далее вспомогательные определители

По формулам Крамера найдём решение системы

. (2.4) Для того, чтобы убедиться в правильности выполненных вычислениях, следует (2.4) подставить в (2.3)

Проверка показала, что вычисления выполнены правильно.
Ответ: x = 2; y = 1; z = 3.
Далее решим это уравнение матричным способом. Для этого введём матричные обозначения

	,		,		(2.5)

Система (2.3) в матричной записи будет иметь вид

А·Х = В.	(2.6)

Умножая (2.6) слева на обратную матрицу А^-1, получим решение системы (2.3) в матричной записи

Х = А^-1·В.	(2.7)

Обратную матрицу А^-1 построим, как указано в задаче 1, и она будет иметь вид

. Проверка обратной матрицы

показывает, что обратная матрица найдена правильно. В соответствии с (2.7) получим вектор решения

, что совпадает с результатом, полученным методом Крамера.
Задача 3. Найти какой – нибудь базис системы векторов

разложить остальные векторы по векторам базиса.
Решение. Задача решается методом Жордана – Гаусса.

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

− 2

− 1

− 2

− 1

− 3

− 6

− 8

− 1

− 9

− 7

− 1

− 4/3

5/3

13/3

-7

− 5/7

5/3

13/21

-1

Видно, что в этой системе векторов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ независимыми являются векторы А₁, А₂, А₃, векторы А₄, А₅ выражаются через векторы базиса

Коэффициенты разложения указаны в последней секции таблицы.
Задача 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений

методом Гаусса.
Элементарными преобразованиями системы линейных алгебраических уравнений являются:

перестановка уравнений системы;
прибавление к любому уравнению системы любого другого, умноженного на любое число.

Метод Гаусса заключается в преобразовании системы к специальному виду, в котором главная матрица левой части будет единичной. Преобразования будут вестись в специальной таблице, в которой с целью упрощения записи не будут указываться неизвестные. В крайнем правом столбце ставится сумма элементов, стоящих левее в строчке. С этими числами следует проводить такие же действия по строкам и критерием правильности выполненных действий будет: в крайнем правом столбце будет формироваться сумма элементов, стоящих левее в строчке. Преимущество метода Гаусса заключается в том, что можно сделать заключение о решении системы в любом случае. Метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода:

Прямой ход

Обратный ход

При завершении обратного хода в предпоследнем столбце будут находиться решения, в последнем — числа на единицу больше.
Ответ: решением системы будет х₁ = 3; х₂ = 3; х₃ = 1; х₄ = − 2.
Задача 5. Вычислить 3·(A + B) − (A − B)·A, , где А и В являются матрицами

. Решение. Воспользуемся правилами сложения, вычитания матриц и умножения на число

. Воспользуемся правилом умножения матриц

Окончательно

. Задача 6. С помощью элементарных преобразований, найти ранг матрицы

. Решение. Элементарными преобразованиями, не изменяющими ранг матрицы, являются

перестановка строк матрицы;
перестановка столбцов матрицы;
сложение или вычитание из любой строки матрицы любой другой, умноженной на любое число;
сложение или вычитание из любого столбца матрицы любого другого, умноженного на любое число;
элементы любой строки или столбца можно умножить на любое число.

Количество единиц на главной диагонали матрицы будет равно рангу матрицы.

Переставим местами вторую и первую строку

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на 2; от третьей строки отнимем первую, умноженную на 6

От второго и четвертого столбцов отнимем первый столбец, из третьего столбца отнимем первый столбец, умноженный на 10, к пятому столбцу прибавим первый

Разделим элементы второго столбца на 3

К элементам третьей строки прибавим соответственно элементы второй строки, умноженной на 5

От элементов третьего столбца отнимем второй, умноженный на 22, от элементов четвёртого столбца отнимем второй, к элементам пятого столбца прибавим элементы второго

Элементы третьего столбца разделим на 71

От элементов четвёртого столбца отнимем третий, умноженный на 2, к элементам пятого столбца прибавим элементы третьего, умноженного на 17

На главной диагонали образовались три единицы, поэтому

. Задача 7. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 3·х² – 2·х·у + 3·у² – 1 = 0. Решение. Второй инвариант является положительным

, поэтому это кривая эллиптического типа.

Третий инвариант

Первый инвариант

J₁ = 3 + 3 = 6 > 0. Так как J₁·J₂ < 0, то данная линия будет эллипсом (см. таб.1)

Таблица 1

J₂> 0 Кривая эллиптического типа	J₃ ≠ 0	J₁·J₂ < 0, эллипс
J₁·J₂ > 0, «мнимый эллипс»	J₃ ≠ 0	J₁·J₂ < 0, эллипс
J₃ = 0	Точка (пара пересекающихся в этой точке «мнимых прямых»)
J₂< 0 Кривая гиперболического типа	J₃ ≠ 0	Гипербола
J₂< 0 Кривая гиперболического типа	J₃ = 0	Пара пересекающихся прямых
J₂= 0 Кривая параболического типа	J₃ ≠ 0	Парабола
J₂= 0 Кривая параболического типа	J₃ = 0	Пара параллельных прямых (различных, совпадающих или «мнимых»)

Составим характеристический определитель

или λ² – 6·λ + 8 = 0 Корнями характеристического уравнения являются λ₁ = 2, λ₂ = 2. Каноническое уравнение данной линии имеет вид

, или 2 x² + 4 y² − 1 = 0.