261 – 270. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций одного аргумента.
- 261. Дождевая капля, начальная масса которой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
- 262. Рычаг второго рода имеет точку опоры в А; в точке В (АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен k. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза и рычага.)
- 263. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональна кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/час расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
- 264. Три пункта А, В и С расположены не на одной прямой; Ð АВС = 600. Из пункта А выходит автомобиль, а одновременно из пункта В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/час, поезд — по направлению к С со скоростью 50 км/час. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ = 200 км?
- 265. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.
- 266. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
- 267. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей площади.
- 268. Около данного цилиндра описать конус наибольшего объёма (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).
- 269. Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего объёма, описанного около шара радиуса R.
- 270. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара.