Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Задание 1
Литература

ЛЕКЦИЯ 1

  1. Абсолютная и относительная погрешности.
  2. Основные источники погрешностей.
  3. Значащая цифра приближённого числа.
  4. Число верных знаков.
  5. Округление чисел.
  6. Связь относительной погрешности приближённого числа с количеством верных знаков этого числа.
  7. Примеры.
  8. Вопросы для самопроверки.

Абсолютная и относительная погрешности

   Приближённым числом называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях.
   Если а < A, то а называется приближённым значением числа А по недостатку, если а > A, то а называется приближённым значением числа А по избытку.
   Под ошибкой или погрешностью Δа приближённого числа а понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближением, т. е. Δа = А – а. Таким образом, точное число можно рассматривать как приближённое с ошибкой, равной нулю.
   Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближённого числа
Δ = |Δa|
   Определение 1. Абсолютной погрешностью Δ приближённого числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а
Δ = | А – а|                                          (1)
Следует различать случаи:
1) число А известно, тогда абсолютная погрешность Δ определяется по формуле (1);
2) число А неизвестно, и абсолютная погрешность не может быть определена по формуле (1).
   В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности Δ ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
   Определение 2. Предельной абсолютной погрешностью приближённого числа называется всякое число, не меньше абсолютной погрешности этого числа.
   Таким образом, если Δа - предельная абсолютная погрешность приближенного числа а, заменяющего точное А, то
Δ = |А – а| ≤ Δа.             (2)
Отсюда следует, что точное число А заключено в границах
а - Δа ≤ A ≤ а + Δа.                        (3)
   Следовательно, а - Δа есть приближение числа А по недостатку, а a + Δа - приближение числа А по избытку.
   В этом случае для краткости пишут
А = а ± Δа.
   Пример 1. Определить предельную абсолютную погрешность числа а = 3,14, заменяющего число π.
   Решение. Так как имеет место неравенство
3,14 < π < 3,15, то | а - π | < 0,01
и, следовательно, можно принять Δа = 0,01.
   Если учесть, что
3,14 < π < 3,142,
то будем иметь лучшую оценку:Δа = 0,002.
   Заметим, что сформулированное выше понятие предельной абсолютной погрешности является весьма широким, а именно: под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел Δа, удовлетворяющих неравенству (2). Отсюда логически вытекает, что всякое число, большее предельной абсолютной погрешности данного приближенного числа, также может быть названо предельной абсолютной погрешностью этого числа. Практически удобно в качестве Δа выбирать возможно меньшее при данных обстоятельствах число, удовлетворяющее неравенству (2).
   В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность. Например, если длина отрезка l = 214 см с точностью до 0,5 см, то пишут l = 214 см ± 0,5 см. Здесь предельная абсолютная погрешность Δl = 0,5 см, а точная величина длины l отрезка заключена в границах 213,5 см ≤ l ≤ 214,5 см.
   Абсолютная погрешность (или предельная абсолютная погрешность) не достаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l1 = 100,8 см ± 0,1 см и l2 = 5,2 см ± 0,1 см, то несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго. Для точности измерений существенна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу измеряемой величины, которая носит название относительной погрешностью.
   Определение 3. Относительной погрешностью δ приближённого числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А ≠ 0),
.                                        (4)
Отсюда Δ = |A|·δ.
   Так же как и для абсолютной погрешности, введем понятие предельной относительной погрешности.
   Определение 4. Предельной относительной погрешностью δа данного приближённого числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности:
δ ≤ δа,                                              (5)
т.е. , отсюда Δ ≤ |A|·δа.
   Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять:
Δа = |A|·δа.                                                (6)
Так как на практике А ≈ а, то вместо формулы (6) часто пользуются формулой
Δа = |а|·δа.                                         (6')
Отсюда, зная предельную относительную погрешность δа, получают границы для точного числа. То обстоятельство, что точное число лежит между а·(1 - δа) и а·(1 + δа), условно записывают так:
А = а·(1 ± δа).
   Пусть а – приближённое число, заменяющее А, и Δа — предельная абсолютная погрешность числа а. Положим для определённости, что А > 0, а > 0 и Δа < а. Тогда
.
Следовательно, в качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять число
.
Аналогично получаем Δ = А·δ ≤ (а + Δ)·δа, отсюда
.
   Если, как обычно бывает, Δа << a и δ а < 1, то приближённо можно принять
и Δа ≈ а·δа.
   Пример 2. Вес 1 дм3 воды при 0° С р = 999,847 Г ± 0,001 Г. Определить предельную относительную погрешность результата взвешивания.
   Решение. Очевидно, что Δр = 0,001 Г и р ≥ 999,846 Г.
   Следовательно,
   Пример 3. При определении газовой постоянной для воздуха получили R = 29,25. Зная, что относительная погрешность этого значения равна 1°/° °, найти пределы, в которых заключается R.
   Решение. Имеем δR = 0,001, тогда ΔR = R δR ≈ 0,03.
   Следовательно, 29,22 ≤ R ≤ 29,28.

Основные источники погрешностей

   Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть в основном разбиты на пять групп.
  1. Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи. Математические формулировки редко точно отображают реальные явления: обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели. Как правило, при изучении тех или иных явлений природы мы вынуждены принять некоторые, упрощающие задачу, условия, что вызывает ряд погрешностей (погрешности задачи).
       Иногда бывает и так, что решить задачу в точной постановке трудно или даже невозможно. Тогда ее заменяют близкой по результатам приближенной задачей. При этом возникает погрешность, которую можно назвать погрешностью метода.
  2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. Функции, фигурирующие в математиче ских формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательностей или рядов. Более того, многие математические уравнения можно решить лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениями.
       Так как бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершен в конечное число шагов, то возникает необходимость остановиться на некотором шаге последовательности, считая его приближением к искомому решению. Такой обрыв процесса вызывает погрешность, которая называется остаточной погрешностью.
  3. Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, все физические константы. Эту погрешность называют начальной.
  4. Погрешности, связанные с системой счисления. При изображении рациональных чисел в десятичной системе или другой позиционной системе справа от запятой может быть бесконечное число цифр (например, может получиться бесконечная десятичная периодическая дробь). При вычислениях можно использовать лишь конечное число этих цифр. Так возникает погрешность округления. Например, полагая 1/3 = 0,333, получаем погрешность Δ ≈ 3·10-4. Приходится так же округлять и конечные числа, имеющие большое количество знаков.
  5. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Производя вычисления с приближенными числами, погрешности исходных данных переносятся на результат вычислений. В этом отношении погрешности действий являются неустранимыми.
       При решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют, или влияние их ничтожно. Но для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды. В дальнейшем мы ограничимся в основном исчислением погрешностей действий и погрешностей методов.

Значащая цифра приближённого числа

   Всякое положительное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби
где αi — цифры числа а, причём старшая цифра αm ≠ 0, а m — некоторое целое число. Например,
3141,59… = 3·103 + 1·102 + 4·101 + 1·100 + 5·10-1 + 9·10-2 + …
   Каждая единица, стоящая на определенном месте в числе а, написанном в виде десятичной дроби, имеет свое значение. Единица, стоящая на первом месте, равна 10m, на втором - 10m-1, на n-м –10m-n+1 и т. д.
   На практике преимущественно приходится иметь дело с приближёнными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби
,βm ≠ 0.    (7)
Все сохранённые десятичные знаки β i (i = m, m – 1, …, m – n – 1) называются значащими цифрами приближённого числа, причём, некоторые из них равны нулю, за исключением βm. При позиционном изображении числа в десятичной системе счисления иногда приходится вводить лишние нули в начале или конце числа.
   Например,
, .
Такие нули (в приведённых примерах они подчёркнуты) не считаются значащими цифрами.
   Определение 5. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.
   Например, в числе 0,002 080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как это отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10-6. В случае, если в данном числе 0,002 080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,002 08. С этой точки зрения числа 0,002 080 и 0,002 08 неравноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе - лишь три значащих цифры.
   При написании больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Поэтому при обычной записи чисел могут возникнуть неясности. Например, рассматривая число 689 000, мы не имеем возможности по его виду судить о том, сколько в нем значащих цифр, хотя можно утверждать, что их не меньше трех. Этой неопределенности можно избежать, выявив десятичный порядок числа и записав его в виде 6,89·105, если оно имеет три значащих цифры; или 6,8900·105, если число имеет пять значащих цифр, и т. п. Вообще, такого рода запись удобна для чисел, содержащих большое количество незначащих нулей, например 0,000000120 = 1,20·10-7 и т. п.

Число верных знаков

   Определение 6. Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближённого числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n – ой значащей цифрой, считая слева направо.
   Таким образом, если для приближённого числа а, заменяющего точное число А, известно, что
,
то, по определению, первые n цифр αm, αm - 1, …, αm - n + 1 этого числа являются верными.
   Например, для точного числа A = 35,97 число а = 36,00 является приближением с тремя верными знаками, так как | А - а | = 0,03 < ½·0,1.
   Заметим, что в математических таблицах все помещенные значащие цифры являются верными. Так, например, в пятизначных таблицах логарифмов гарантировано, что абсолютная погрешность мантиссы не превосходит ½·10-5 и т. п.
   Термин «n верных знаков » не следует понимать буквально, т. е. так, что в данном приближении числа а, имеющем n верных знаков, n первых значащих цифр его совпадают с соответствующими цифрами точного числа А.
   Например, приближенное число а = 9,995, заменяющее точное А =10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны. Однако во многих случаях дело обстоит именно так, что верные знаки приближенного числа одинаковы с соответствующими цифрами точного числа.
   Замечание. В некоторых случаях удобно говорить, что число а является приближением точного числа А с n верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность Δ = |A - а | не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой приближенного числа.
   Определение 7. Число а является приближением числа А с n верными знаками в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицы разряда, выражаемого n – ой значащей цифрой, считая слева направо
.
   Например, для точного числа A = 412,3567 число а = 412,356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, так как Δ =0,0007 < 1·10-3.
   В дальнейшем верными знаками приближённого числа будем понимать в узком смысле, если явно не оговорено противно.

Округление чисел

   Под округлением числа а понимается замена этого числа на число а1 с меньшим количеством значащих цифр. Число а1 выбирается так, чтобы погрешность округления | a – a1 | была наименьшей.
   Правило округления по дополнению. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывая все цифры его, стоящие справа от n – ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяя их нулями. При этом:    Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифры всех сохраненных разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу. В исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры.
   Очевидно, что при применении правила округления погрешность округления не превосходят 1/2 единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.
   Пример 1. Округляя число π = 3,1415926535 ... до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим приближенные числа 3,1416; 3,142; 3,14 с абсолютными погрешностями, меньшими 1/2·10-4; 1/2·10-3 и 1/2·10-2.
   Пример 2. Округляя число 1,2500 до двух значащих цифр, получим приближенное число 1,2 с абсолютной погрешностью, равной 1/2·10-1 = 0,05.
   Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. Обычно руководствуются следующим практическим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными. Если при этом абсолютная погрешность результата не превышает двух единиц последнего сохраненного десятичного разряда, то излишняя цифра называется сомнительной.
   Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений. Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов производится для наихудших вариантов, и фактическая погрешность может оказаться значительно меньше максимальной теоретической. Таким образом, во многих случаях те значащие цифры, которые считаются неверными, на самом деле являются верными.
   Приходится также округлять точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений.
   Заметим, что если точное число А округлить по правилу дополнения до n значащих цифр, то полученное таким образом приближенное число а будет иметь n верных цифр (в узком смысле). Если же приближенное число а, имеющее n верных цифр, округлить до n значащих цифр, то полученное новое приближенное число а1, вообще говоря, будет иметь n верных цифр в широком смысле. Действительно, в силу неравенства
| А - а1| ≤ | А - а | + | а - а1|
предельная абсолютная погрешность числа ах складывается из абсолютной погрешности числа а и погрешности округления.

Связь относительной погрешности приближённого числа с количеством верных знаков этого числа

   Докажем теорему, которая связывает величину относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа.
   Теорема. Если положительное приближённое число а имеет n верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная погрешность
,
где аm первая значащая цифра числа.
   Доказательство. Пусть число
является приближённым значением точного числа А и имеет n верных знаков. Тогда из определения имеем
,
отсюда
.
Последнее неравенство ещё более усиливается, если число а заменить на заведомо меньшее число аm·10m,
                                         (8)
Здесь принято во внимание соотношение
2 am - 1 = am + (am - 1) ≥ am.
Следовательно,
,                                          (9)
что и требовалось доказать.
   Замечание 1. Пользуясь неравенством (8), можно получить более точную оценку относительной погрешности δ.
   Следствие 1. За предельную относительную погрешность числа а можно принять
,                                                (10)
где аm — первая значащая цифра числа а.
   Следствие 2. Если а имеет больше двух верных знаков, то практически справедлива формула
.                                                (11)
Действительно, при n ≥ 2 число  в (8) можно пренебречь. Тогда
,
отсюда
.
Следовательно,
.
    Замечание 2.Если приближённое число а имеет n верных десятичных знаков в широком смысле, то оценки (10), (11) следует увеличить в два раза.
   Для решения обратной задачи – определения количества n верных знаков числа, если известна его относительная погрешность δ, обычно пользуются приближённой формулой
δ = Δ/a (a > 0),
где Δ – абсолютная погрешность числа а. Отсюда
Δ = a·δ.
Учитывая старший десятичный разряд числа Δ, легко установить количество верных знаков данного приближённого числа а. В частности, если
,
то из вышеприведённых формул имеем:
Δ ≤ (am + 1) 10m 10-n ≤ 10m - n+1,
т.е. число а имеет n верных знаков в широком смысле.
   Аналогично, если
,
то число а имеет n верных знаков в узком смысле.

Примеры

   Пример 1. Вес 1 дм3 воды при 0° С равен р = 999,847 Г ± 0,001Г. Определить предельную относительную погрешность результата взвешивания.
   Решение. Предельная абсолютная погрешность равна Δр = 0,001 Г. Следовательно,
.
   Пример 2. При определении газовой постоянной для воздуха получили R = 29,25. Зная, что относительная погрешность этого значения равна 10/00, найти пределы, в которых заключено R.
   Решение. Имеем δR = 0,001, тогда ΔR = R·δR ≈ 0,03. Следовательно, 29,22 ≤ R ≤ 29,28.
   Пример 3. Для точного числа А = 35,97 число а = 36,00 является приближённым с тремя верными знаками, так как
.
   Пример 4. Для точного числа А = 9,995 число а = 10,0 является приближением и имеет три верных знака, так как
.
   Пример 5. Для точного числа А = 412,3567 число а = 412,356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, так как Δ = 0,0007 < 1·10-3 = 1·102 + 1 - 6.
   Пример 6. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа π взять число 3,14?
   Решение. В этом случае аm = 3 — первая значащая цифра и n = 3, следовательно,
.
   Пример 7. Со сколькими десятичными знаками надо взять , чтобы погрешность не превышала 0,1%?
   Решение. Первая цифра 4, то аn = 4, причём δ = 0,001. Имеем в силу (10)
,
отсюда   10n – 1 ≥ 250 и n ≥ 4.
   Пример 8. Приближённое число а = 24253 имеет относительную погрешность 1%. Сколько в нём верных знаков?
   Решение. Имеем
Δ = 24253·0,01 ≈ 243 = 2,43·102.
Число а = 24253 имеет две верные цифры, цифра сотен является сомнительной, поэтому число а предпочтительнее записать в виде а = 2,43·104.

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение абсолютной погрешности.
  2. Дайте определение относительной погрешности.
  3. Дайте определение предельной абсолютной погрешности.
  4. Дайте определение предельной относительной погрешности.
  5. Какая существует связь предельной относительной погрешности с предельной абсолютной погрешностью?
  6. Перечислите и кратко опишите основные источники погрешности.
  7. Что называется значащей цифрой приближенного числа?
  8. Что называется верными цифрами приближённого числа в узком и в широком смысле ?
  9. Сформулируйте правила округления чисел.
  10. Как относительная погрешность приближённого число связана с количеством верных знаков этого числа?