Теория погрешностей 2

ВВЕРХ

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Задание 2

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.

ЛЕКЦИЯ 2

Погрешность суммы.
Погрешность разности.
Погрешность произведения.
Число верных знаков произведения.
Примеры вычислений.
Вопросы для самопроверки.

Погрешность суммы

Теорема. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближённых чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.
Доказательство. Пусть х₁, х₂, …, х_n — данные приближённые числа. Рассмотрим их алгебраическую сумму u = ±х₁ ± х₂ ±… ± х_n. Очевидно, что Δu = ±Δх₁ ± Δx₂ ± … ±Δх_n и, следовательно, |Δu| ≤ |Δх₁| + |Δx₂| + … + |Δх_n|. Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых

. (2.1) Из формулы (2.1) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, нельзя за их счёт увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых.
Правило. Чтобы сложить числа различной абсолютной погрешности, следует:

1) выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;
2) остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака;
3) провести сложение данных чисел, учитывая все сохранённые знаки;
4) полученные результаты округлить на один знак.

При округлении по правилу дополнения слагаемых суммы u = х₁ + х₂ + …+ х_n. до m – го десятичного разряда погрешность округления суммы в самом неблагоприятном случае не превышает величины

   Можно получить более точный расчет погрешности округления суммы, если учесть знаки ошибок округления-слагаемых.
   Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры (в широком смысле).
   Решение. Выделяем числа наименьшей точности 345,4 и 235,2 абсолютная погрешность которых может достигать 0,1. Округляя остальные числа с точностью до 0,01, получим:

345,	4
235,	2
11,	75
9,	27
0,	35
0,	18
0,	08
0,	02
0,	00
602,	25

Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, получим приближенное значение суммы 602,2.
Полная погрешность Δ результата складывается из трех слагаемых:

1) суммы предельных погрешностей исходных данных Δ₁= 10^-3 + 10^-4 + 10^-1 + 10^-1 + 10^-2 + 10^-2 + 10^-4 + 10^-4 + 10^-6 = 0,221 301 < 0,222;
2) абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых Δ₂ = | - 0,002 + 0,0034 + 0,0049 + 0,0014 + 0,000 354 | = 0,008054 < 0,009;
3) заключительной погрешности округления результата Δ₃ = 0,050.

   Следовательно, Δ = Δ₁ + Δ₂ + Δ₃ = 0,222 + 0,009 + 0,050 = 0,281 < 0,3; и, таким образом, искомая сумма есть 602,2 ± 0,3.
   Теорема. Если слагаемые — одного и того же знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.
   Доказательство. Пусть u = х₁ + х₂+ … + х_n, где х_i > 0 (i = 1, 2, …, n). Обозначим А_i (А _i > 0; i = 1, 2, …, n) точные значения слагаемых х_i, а через A = А₁ + А₂ + … + А_n — точное значение суммы. Тогда предельной относительной погрешностью можно принять

. (2.2) Так как

, ( i = 1, 2, …, n), то

. (2.3) Подставляя (2.3) в (2.2), получим

. Пусть

является наибольшей из относительных погрешностей

. Тогда

. Следовательно,

Погрешность разности

Рассмотрим разность двух приближенных чисел u = x₁ – x₂.
Предельная абсолютная погрешность Δ_u равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:

. Отсюда предельная относительная погрешность разности равна

,                              (2.4) где А – точное значение абсолютной величины разности чисел х₁ и х₂.
   Замечание о потере точности при вычитании близких чисел. Если приближённые числа х₁ и х₂ достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число А мало. Из (2.4) вытекает, что относительная погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, то есть происходит потеря точности.
   Вычислим, например, разность двух чисел: х₁ = 47,132 и x₂ = 47,111, каждое из которых имеет пять верных значащих цифр. Вычитая, получим u = 47,132 -47,111 = 0,021.
   Таким образом, разность и имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности Δ_u = 0,0005 + 0,0005 = 0,001.    Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности соответственно

Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных.
Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, вычисление числовых значений которых приводит к вычитанию близких чисел.
Пример. Найти разность

(*) с тремя верными знаками.
Решение. Так как

, то искомый результат есть u = 0,00353 = 3,53·10^-3. Этот результат можно получить, если записать выражение (*) в виде

и взять корни

лишь с тремя верными знаками. Действительно,

Исходя из вышесказанного, получаем следующее практическое правило: при приближенных вычислениях следует по возможности избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел; если же в силу необходимости приходится вычитать такие числа, то следует уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков (если такая возможность имеется). Например, если известно, что при вычитании чисел х₁ и х₂ первые m значащих цифр их пропадут, а результат необходимо иметь с n верными значащими цифрами, то х₁ и х₂ следует взять с n + m верными значащими цифрами.

Погрешность произведения

   Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближённых чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
   Доказательство. Пусть u = x₁·x₂·…·x_n.
   Предполагая для простоты, что приближённые числа х₁, х₂, …, x_n положительны, будем иметь ln u = ln х₁ + ln х₂ + … + ln х_n, Используя приближённую формулу

, находим

. Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим

. Если A_i (i = 1, 2,..., n) - точные значения сомножителей x_i и | Δ x_i|, как это бывает обычно, малы по сравнению с x_i, то приближенно можно положить:

. где δ_i относительные погрешности сомножителей x_i( i = 1, 2, …, n) и δ_u относительная погрешность произведения.
   Следовательно, δ ≤ δ₁ + δ₂ + … + δ_n.                                  (2.5)    Формула (2.5) остается верной также, если сомножители x_i( i = 1, 2, …, n) имеют различные знаки.
   Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей δ_u = δ₁ + δ₂ + … + δ_n.    Если все множители произведения u весьма точны, за исключением одного, то из формулы (2.5) следует, что предельная относительная погрешность произведения в этом случае будет практически совпадать с предельной относительной погрешностью множителя, обладающего наименьшей точностью. В частном случае, если приближенным является лишь множитель х₁, то имеем просто δ_u = δ_x₁.    Зная предельную относительную погрешность δ_u произведения u, можно определить его предельную абсолютную погрешность Δ_u по формуле Δ_u = | u | δ_u.    Пример. Определить произведение приближенных чисел х₁ = 12,2 и х₂ = 73,56 и число верных знаков в нем, если все написанные цифры сомножителей верные.
   Решение. Имеем Δ_x₁ = 0,05 и Δ_x₂ = 0,005. Отсюда

Так как произведение u = 897,432, то Δ_u = u δ_u = 897·0,004 = 3,6 (приблизительно).
   Отсюда u имеет лишь два верных знака и результат следует записать так: u = 897 ± 4. Отметим частный случай u = k x, где k - точный множитель, отличный от нуля. Имеем: δ_u = δ_x и Δ_u = | k | Δ_x, т. е. при умножении приближенного числа на точный множитель относительная предельная погрешность не изменяется, а абсолютная предельная погрешность увеличивается в | k | раз.
   Пример. При наведении ракеты на цель предельная угловая ошибка ε = 1'. Каково возможное отклонение Δ_u ракеты от цели на дальности х = 2000 км при отсутствии корректирования ошибки?
   Решение. Здесь

Очевидно, что относительная погрешность произведения не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Поэтому здесь, как и в случае сложения, не имеет смысла сохранять в более точных сомножителях излишнее количество значащих цифр.
Полезно руководствоваться следующим правилом: чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно:

1) округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей;
2) в результате умножения сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей (или удержать ещё одну запасную цифру).

Число верных знаков произведения

Пусть имеем произведение n сомножителей ( n ≤ 10) u = x₁·x₂·…·x_n, каждый из которых имеет, по крайней мере, m ( m > 1) верных цифр. Пусть α₁, α₂, …, α_n — первые значащие цифры в десятичной записи множителей:

. Тогда по формуле (1.11) будем иметь

и, следовательно,

. (2.6) Так как

, то

.    Следовательно, в самом неблагоприятном случае произведение u имеет m – 2 верных знака.
   Правило. Если все сомножители имеют m верных десятичных знака и число их не более 10, то число верных (в широком смысле) знаков произведения на одну или две единицы меньше m.
   Если нужно обеспечить в произведении m верных десятичных знаков, то сомножители следует брать с одним или двумя запасными знаками.
   Если сомножители обладают различной точностью, то под m следует понимать число верных знаков в наименее точном из сомножителей. Таким образом, число верных знаков произведения небольшого числа сомножителей (порядка десяти) может быть на одну или две единицы меньше числа верных знаков в наименее точном из этих сомножителей.

Примеры вычислений

   Пример. Найти произведение приближённых чисел х₁ = 2,5 и х₂ = 72,397, верных в записанных знаках.
   Решение. Применяя правило, после округления имеем х₁ = 2,5 и х₂ = 72,4. Отсюда х₁·х₂ = 2,5·72,4 = 181 ≈1,8·10².
   Пример. Определить относительную погрешность и количество верных цифр произведения u = 93,87·9,236.
   Р е ш е н и е. По Формуле (2.6) имеем

. Следовательно, произведение u имеет по крайней мере три верные цифры.
Пример. Определить относительную погрешность и количество верных цифр произведения u = 17,63·14,285.
Решение. По Формуле (2.6) имеем

. Следовательно, в произведении будут по крайней мере три верные цифры (в широком смысле).

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте теорему об абсолютной погрешности алгебраической суммы.
Сформулируйте правило, как сложить числа различной абсолютной погрешности.
Если слагаемые — одного и того же знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает чего?
Чему равна предельная абсолютная погрешность разности u = x₁ – x₂?
Когда происходит потеря точности при вычитании?
Сформулируйте теорему об относительной погрешности произведения нескольких приближённых чисел, отличных от нуля.
Чему равна предельная относительная погрешность произведения?
Как найти произведение нескольких приближённых чисел с различным числом верных значащих цифр?
Как определить число верных знаков произведения?
Найти сумму приближённых чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры (в широком смысле).
Найти разность двух чисел х₁ = 47,132 и х₂ = 47,111, каждое из которых имеет пять верных значащих цифры.
Определить произведение u приближённых чисел х₁ = 12,2 и х₂ = 73,56 и число верных знаков в нём, если все написанные цифры сомножителей верны.
Найти произведение приближённых чисел х₁ = 2,5 и х₂ = 72,397, верных в записанных знаках.
Определить относительную погрешность и количество верных цифр произведения u = 93,87·9,236.
Определить относительную погрешность и количество верных цифр произведения u = 17,63·14,285.