Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Задание 3
Литература

ЛЕКЦИЯ 3

  1. Постановка задачи интерполирования.
  2. Интерполяционная формула Лагранжа.
  3. Пример.

Постановка задачи интерполирования

   Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [а, b] заданы n + 1 точки х0, х1, …, х n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках
f (x0) = y0, f (x1) = y1, …, f (xn) = yn.                        (1)
Требуется построить функцию F(x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах те же значения, что и f (x):
F(x0) = y0, F(x1) = y1, …, F(xn) = yn.                        (2)
   Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F(x) некоторого определённого типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) (i = 1, 2, … , n ) Нажми на линк для просмотра рисунка.
   В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F (x) искать полином Рn(x) степени не выше n, удовлетворяющей условиям (2), т.е. такой, что
Рn(х0) = y0, Рn(х1) = y1, …, Рn(хn) = yn.
   Полученную интерполяционную формулу
y = F(x)
обычно используют для приближённого вычисления значений данной функции f(x) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда х ∈ [х0, хn] и экстраполирование, когда х ∈ [х0, хn]. В дальнейшем будем понимать по интерполирование как первую, так и вторую операцию.

Интерполяционная формула Лагранжа

   Пусть на отрезке [a, b] даны n + 1 различных значений аргумента: х0, х1, …, хn и известны для функции у = f (х) соответствующие значения :
f (x0) = y0, f (x1) = y1, …, f (xn) = yn.
Требуется построить полином Ln(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах х0, х1, …, хn значения f(x0), f(x1), …, f(xn):
Ln(xi) = yi (i = 0, 1, 2, …, n)
   Решим сначала частную задачу: построим полином рi (х) такой, что pi (xj ) = 0 при i ≠ j и pi(xi) = 1.
   Короче эти условия можно записать следующим образом:
                          (3)
где δij - символ Кронекера Нажми на линк для просмотра рисунка.
   Так как искомый полином обращается в нуль в n точках х0, x1, ..., xi-1, xi+1, ..., хn, то он имеет вид
рi (х) = Сi(х - х0) (х - х1)…(х - хi-1) (х - хi+1)…(х - хn),                         (4)
где Ci - постоянный коэффициент. Полагая x = xi в формуле (4) и учитывая, что рi(xi) = 1, получим:
Сi ( хi - х0)·( хi - х1 )·…·( хi - хi-1 )·( хi - хi+1 )…( хi - хn ) = 1.
Отсюда
.
Подставив это значение в формулу (4), будем иметь:
.                           (5)
   Теперь перейдем к решению общей задачи: к отысканию полинома Ln(x), удовлетворяющего указанным выше условиям Ln( xi) = yi. Этот полином имеет следующий вид:
,                           (6)
   В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного полинома Ln(x) не выше n и, во-вторых, в силу условия (3) имеем:
   (j = 1, 2, …, n).
Подставив в формулу (6) значение рi (х) из (5), получим:
.                           (7)
Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.
   Построенный полином является единственным.
   Формуле (7) можно придать другой вид, введя обозначения
.                          (8)
Дифференцируя по х это произведение, получим:
.
Полагая x = xi (i = 0, 1, 2, ..., n), будем иметь:
.                          (9)
Внося выражения (8) и (9) в формулу (7), получим:
.                          (7')
   Следует отметить, что формула Лагранжа содержит явно уi, что бывает иногда важно.
   Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.
   При n = 1 мы имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой у = L1 (х), проходящей через две заданные точки:
,
где а, b - абсциссы этих точек.
   При n = 2 получим уравнение параболы у = L2(x), проходящей через три точки:
,
где а, b, с - абсциссы данных точек.
   Для вычисления коэффициентов Лагранжа может быть использована приведённая ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом
       (9)
Обозначим произведение элементов первой строки есть D0, второй — D1 и т. д. Произведение элементов на диагонали (элементы подчёркнуты) есть Пn+1(x). Отсюда следует, что
.

Пример

   Для функции у = f(x) дана таблица значений
х0,050,150,200,250,350,400,500,55
у0,95120,86070,81870,77880,70470,67030,60650,5769
Найти у(0,45).
   Решение.
xiyi        Diyi/Di 
0,050,95120,4-0,1-0,15-0,2-0,3-0,35-0,45-0,5 -0,00002835-33552 
0,150,86070,1 0,3-0,05-0,1-0,2-0,25-0,35-0,4 0,00000105819714,3 
0,20,81870,150,05 0,25-0,05-0,15-0,2-0,3-0,35-2,9531E-07-2772317 
0,250,77880,20,10,05 0,2-0,1-0,15-0,25-0,3 2,25E-073461333 
0,350,70470,30,20,150,1 0,1-0,05-0,15-0,2 -1,35E-07-5220000 
0,40,67030,350,250,20,150,05 0,05-0,1-0,15 9,8438E-086809397 
0,50,60650,450,350,30,250,150,1 -0,05-0,05 4,4297E-071369171 
0,550,57690,50,40,350,30,20,150,05-0,1 -3,15E-06-183143 
x=0,45       Пn+1(x)=0,0000001542506030,63759
   Ответ. y= f(0,45) ≈ 0,63759.