ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.
ЛЕКЦИЯ 5
- Приближённое решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Приближённое решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Найти приближённое решение дифференциального уравнения
y ′ = f (x, y), (1)
удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.
По определению производной имеем
. (2)
Используя свойство предельного перехода, из (2) будем иметь
y ( x + h ) = y ( h ) + h·y' + o ( h ). (3)
С учётом (1), соотношение (3) примет вид
y ( x + h ) = y ( h ) + h·f (x, y) + o ( h ). (4)
Отбрасывая в (4) слагаемые, имеющие порядок малости относительно h выше первого, и обозначая x
= xi, x + h = xi + 1, получим расчётную формулу Эйлера
yi+1 = yi + h·f (xi, yi) . (5)
С другой стороны, по формуле Ньютона – Лейбница имеем
. (6)
Представив интеграл в (6) приближённо по формуле трапеций, получим
.
или
. (7)
Если учесть соотношение (4) и то, что правая часть уравнения (1) является непрерывной функцией своих аргументов, получим соотношение
,
или
. (8)