ЗАДАНИЕ 5

ВВЕРХ

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Дифференциальные уравнения

Образец выполнения

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.

ЗАДАНИЕ 5

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближённых значений интеграла дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀ на отрезке [ a, b] шаг h = 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

1	y₀(1,8) = 2,6	х ∈ [1,8; 2,8]
2	y₀(1,6) = 4,6	х ∈ [1,6; 2,6]
3	y₀(0,6) = 0,8	х ∈ [0,6; 1,6]
4	y₀(0,5) = 0,6	х ∈ [0,5; 1,5]
5	y₀(1,7) = 5,3	х ∈ [1,7; 2,7]
6	y₀(1,4) = 2,2	х ∈ [1,4; 2,4]
7	y₀(1,4) = 2,5	х ∈ [1,4; 2,4]
8	y₀(0,8) = 1,4	х ∈ [0,8; 1,8]
9	y₀(1,2) = 2,1	х ∈ [1,2; 2,2]
10	y₀(2,1) = 2,5	х ∈ [2,1; 3,1]
11	y₀(1,8) = 2,6	х ∈ [1,8; 2,8]
12	y₀(1,6) = 4,6	х ∈ [1,6; 2,6]
13	y₀(0,6) = 0,8	х ∈ [0,6; 1,6]
14	y₀(0,5) = 0,6	х ∈ [0,5; 1,5]
15	y₀(1,7) = 5,3	х ∈ [1,7; 2,7]
16	y₀(1,4) = 2,2	х ∈ [1,4; 2,4]
17	y₀(1,4) = 2,5	х ∈ [1,4; 2,4]
18	y₀(0,8) = 1,3	х ∈ [0,8; 1,8]
19	y₀(1,1) = 1,1	х ∈ [1,1; 2,1]
20	y₀(0,6) = 1,2	х ∈ [0,6; 1,6]

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближённых значений интеграла дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀ на отрезке [ a, b] шаг h = 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

. Метод Эйлера с уточнением заключается в том, что каждое значение y_k+1 = y(x_k+1), где y(x) — искомая функция, а x_k+1 = x₀ + h·(k + 1), k = 0,1, … , определяется следующим образом:

; найденное значение

, уточняется по формуле

. Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут.
Все описанные вычисления удобно производить, составив следующие таблицы:

основную таблицу, в которой записывается ответ примера (табл. 1);
таблицу, в которой записывается процесс последовательных приближений (табл. 1);

Таблица 1

k	x_k	y_k	f_k		h = 0,1
0	1,4	2,2	2,2293	1,0733
1	1,5	2,3651	2,3680	1,1557
2	1,6	2,5413	2,5042	1,2800
3	1,7	2,7305	2,6369	1,4475
4	1,8	2,9347	2,7647	1,6550
5	1,9	3,1557	2,8859	1,8937
6	2	3,3947	2,9981	2,1486
7	2,1	3,6520	3,0986	2,4003
8	2,2	3,9270	3,1848	2,6276
9	2,3	4,2176	3,2542	2,8124
10	2,4	4,5209	3,3054

Интегральная линия рис. 1 построена в пакете EXEL.

Если искать решение методом Эйлера без уточнения, то, как видно из рис. 2, при удалении от начального условия расхождение увеличивается

Поле направлений и интегральная линия указана на рис. 3.