Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
К содержанию лекции
Образец выполнения
Литература

ЗАДАНИЕ 6

      Методом хорд и касательных решить уравнение третей степени, вычислить корни с точностью до 0,001.

1 2·x3 - 3·x2 - 12·x - 5 = 0 2 x3 - 3·x2 - 24·x - 3 = 0
3 x3 - 3·x2 + 3 = 0 4 x3 - 12·x + 6 = 0
5 x3 + 3·x2 - 24·x - 10 = 0 6 2·x3 - 3·x2 - 12·x + 10 = 0
7 2·x3 + 9·x2 - 21 = 0 8 x3 - 3·x2 + 2,5 = 0
9 x3 + 3·x2 - 2 = 0 10 x3 + 3·x2 + 3,5 = 0
11 x3 + 3·x2 - 24·x + 10 = 0 12 x3 - 3·x2 - 24·x - 8 = 0
13 2·x3 + 9·x2 - 10 = 0 14 x3 - 12·x + 10 = 0
15 x3 + 3·x2 - 3 = 0 16 2·x3 - 3·x2 - 12·x + 1 = 0
17 x3 - 3·x2 - 24·x - 5 = 0 18 x3 + 4·x2 + 2 = 0
19 x3 - 12·x - 5 = 0 20 x3 + 3·x2 - 24·x + 1 = 0
21 2·x3 - 3·x2 - 12·x + 12 = 0 22 2·x3 + 9·x2 - 6 = 0
23 x3 - 3·x2 + 1,5 = 0 24 x3 - 3·x2 - 24·x + 10 = 0
25 x3 + 3·x2 - 24·x - 3 = 0 26 x3 - 12·x - 10 = 0
27 2·x3 + 9·x2 - 4 = 0 28 2·x3 - 3·x2 - 12·x + 8 = 0
29 x3 + 3·x2 - 1 = 0 30 x3 - 3·x2 + 3,5 = 0

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

   Методом хорд и касательных решить уравнение третей степени, x3 - 2·x2 - 4·x + 7 = 0 вычислить корни с точностью до 0,001.
   Решение. Отделим корни аналитически. Находим
Найдены точки экстремума функции. Составим таблицу знаков функции f(x) (для иллюстрации смотрите рис. 1):

Рис. 1. График функции на интервале [ - 2,5; 3 ]

Изменение знаков функции
х - ∞ - 2/3 2 + ∞
sign - + - +
Итак, уравнение имеет три действительных корня: х1 ∈(- ∞,- 2/3]; х2 ∈ [-2/3, 2]; х3 ∈ [2, + ∞). Уменьшим промежутки, содержащие корни.
х - 2 - 1 0 1 2 3
sign - + + + - +
Значит, х1 ∈ [- 2, - 1]; х2 ∈ [1, 2]; х3 ∈ [2, 3].
   Уточним корни комбинированным методом хорд и касательных.
  1. х1 ∈ [- 2, - 1]; f (- 2) < 0; f ( - 1) > 0; f ''(х) = 6·х – 4. Метод касательных проводим для точки, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной. При – 2 ≤ х ≤ - 1 имеем f ''(х) < 0. Для расчётов применяем формулы
    где an и bn – значения корня соответственно по недостатку и избытку. Полагаем a0 = - 2, b0 = - 1. Все вычисления производим в таблице, обозначив
    N an bn bn - an f(an) f(bn) f'(an) f(bn) -f(an) h1n h2n
    0 -2 -1 1 -1 8 16 9 0,0625 0,11111
    1 -1,9375 -1,88889 0,04861 -0,03101 0,68038 15,0117 0,71139 -0,00207 -0,00212
    2 -1,93543 -1,93962 -0,00418 -3,3E-05 -0,06285 14,97946 -0,06281 -2,2E-06 -2,2E-06
    3 -1,93544 -1,93544              
  2. Аналогично находятся корень на отрезке х2 ∈ [1, 2]. Для расчётов на этом интервале применяем те же формулы.
    N an bn bn - an f(an) f(bn) f'(an) f(bn) -f(an) h1n h2n
    0 1 2 1 2 -1 -5 -3 0,4 0,666667
    1 1,4 1,666667 0,266667 0,224 -0,59259 -3,72 -0,81659 -0,06022 -0,07315
    2 1,460215 1,326851 -0,13336 0,008195 0,507497 -3,44418 0,499301 -0,00238 -0,00219
    3 1,457836 1,458026 0,00019 0,016404 0,015746 -3,45549 -0,00066 -0,00475 -0,00475
    4 1,453088 1,453088              
  3. На отрезке х3∈ [2,3, 3] вторая производная f ''(х) = 6·х – 4 положительна и метод касательной применяем в той точке, в которой значение функции положительно.
    N bn an bn- an f(bn) f(an) f'(an) f(bn) -f(an) h1n h2n
    0 2,30000 3,00000 -0,70000 -0,61300 4,00000 11,00000 -4,61300 -0,36364 -0,60698
    1 2,39302 2,63636 -0,24334 -0,32143 0,87754 6,30579 -1,19897 -0,13916 -0,17811
    2 2,45826 2,49720 -0,03894 -0,06376 0,11174 4,71922 -0,17551 -0,02368 -0,02479
    3 2,47241 2,47352 -0,00112 -0,00190 0,00307 4,46084 -0,00497 -0,00069 -0,00069
    4 2,47283 2,47283