Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Задание 1
Задание 2
Литература
  ЛЕКЦИЯ 1
  1. Средняя арифметическая и её свойства.
  2. Выборочная дисперсия.
  3. Свойства выборочной дисперсии.
  4. Пример.
  5. Вычисления в пакете Excel.
  6. Вопросы для самопроверки.
  7. Задание 1.

Средняя арифметическая и её свойства

 Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие им частоты, делённая на сумму частот:
.
  1. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:
    .
    Указанное свойство позволяет вычислять среднюю арифметическую не по данным варианты, а по уменьшенным (или увеличенным) в k раз.
  2. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на то же число.
    .
    Это свойство позволяет вычислять среднюю арифметическую не по данным варианты, а по уменьшенным (или увеличенным) на произвольное число.
  3. Сумма произведений отклонений вариантов от средней арифметической на соответствующие им веса равна нулю.
  4. При уменьшении или увеличении весов в одно и то же число раз средняя арифметическая не изменяется.  Определение. Групповой средней называется средняя арифметическая значений признака членов, составляющих часть данной совокупности. Тогда среднюю арифметическую того же признака во всей совокупности называют общей средней.
  5. Средняя арифметическая групповых средних непересекающихся групп, если весами являются их объёмы, равна общей средней.

Выборочная дисперсия

 Определение. Дисперсией σ2 вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонения вариантов от их средней:

.
  Определение. Арифметическое значение корня квадратного из дисперсии называется средним квадратическим отклонением.

Свойства выборочной дисперсии

  1. Если все варианты увеличить (уменьшить) в k раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в k2 раз.   Следствие. Если все варианты увеличить (уменьшить) в k раз, то среднее квадратическое отклонение увеличится (уменьшится) в k раз.
  2. Увеличение или уменьшение вариантов на одну и ту же постоянную величину не изменяет дисперсии.
  3. Если частоты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то дисперсия не изменится.
    .
  4. Дисперсия вариационного ряда равна дисперсии относительно произвольной постоянной без квадрата разности между средней арифметической и этой постоянной:
    .
  5. Дисперсия равна средней арифметической квадратов без квадратов средней арифметической:
    .
    Доказательство вытекает из теоремы 4 при с = 0.

Пример

 Имеются данные о стоимости ремонта вагона у — стоимость обслуживания вагона (тыс. руб.), х — пробег вагона (тыс. км.).

1 х 22,8 27,5 34,5 26,4 19,8 17,9 25,2 20,1 20,7 21,4 19,8 24,5
у 23,0 26,8 28,0 18,4 30,4 20,8 22,4 21,8 18,5 23,5 16,7 20,4
 Задание:
  1. Рассчитайте параметры уравнений регрессии у = а + b·x + e.
  2. Оцените тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации.
  3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
  4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
  5. С помощью F – статистики Фишера (при α = 0,05) оцените надёжность уравнения регрессии.
  6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для α = 0,05.
  7. Определите интервал изменения средней стоимости обслуживания вагона со средним пробегом с надёжностью 0,95%.
  8. Определите интервал изменения стоимости обслуживания вагона с надёжностью 0,95%; при увеличении пробега вагона на 1 тыс. км.
  9. Определите доверительный интервал для стандартного отклонения стоимости обслуживания вагона с надёжностью 95%.
  10. Расчёты должны быть подробны и сопровождены пояснительной записью.
Вычислим все необходимые суммы:





По формулам находим выборочные характеристики
, .

Использование пакета Excel для статистических вычислений

  В пакете Excel имеется большие возможности для проведения статистических вычислений. По мере решения поставленной выше задачи будут даваться пояснения для использования пакета Excel.
   Заполним таблицу данных по столбцам. Построим корреляционные поле данных задачи, для этого:
a) на рабочем столе ''кликнем'' по иконке ''мастер диаграмм'';
b) тип диаграмм выберем точечная и ''кликнем'' далее;
c)  появится диалоговое окно, далее мышью выделим диапазон данных;
d) Следуя появляющимся далее возможностям, получим корреляционное поле данных задачи.
Можно отредактировать представление корреляционного поля и представить его, к примеру, в виде рис. 1.
   рис. 1
Для нахождения среднего арифметического некоторого массива чисел необходимо:
a) отметить ячейку для подсчёта среднего арифметического;
b) на рабочем столе ''кликнуть'' по иконке f*(вставка функции);
c) в появившемся диалоговом окне на поле ''категория'' выбрать ''статистические'', в поле функция выбрать ''СРЕДЗНАЧ'';


d) в появившемся диалоговом окне на поле ''число 1'' отметить диапазон чисел, для которых следует найти среднее арифметическое.
Вычислим поле значений х2, среднее значение данных этого поля. Далее по формуле  находим дисперсию поля х2:

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется средней арифметической вариационного ряда?
  2. Перечислите и докажите свойства средней арифметической вариационного ряда.
  3. Что называется выборочной дисперсией?
  4. Перечислите и докажите свойства выборочной дисперсии вариационного ряда.
  5. Для данного вариационного ряда X:=[22.8,27.5,34.5,26.4,19.8,17.9,25.2,20.1,20.7,21.4,19.8,24.5] вычислить среднюю арифметическую.
  6. Для данного вариационного ряда Y:=[23,26.8,28,18.4,30.4,20.8,22.4,21.8,18.5,23.5,16.7,20.4] вычислить среднюю арифметическую.
  7. Если все варианты увеличить в k раз, то как изменится выборочная дисперсия?
  8. Как определяется выборочное среднеквадратичное отклонение?
  9. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то как изменится средняя арифметическая?