Тема 1

К СОДЕРЖАНИЮ

1. Аксиомы динамики.
2. Единица изменения силы в системе СИ.
3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
4. Первая задача динамики.
5. Вторая задача динамики.
6. Падение тела в среде, оказывающей сопротивление падению пропорционально квадрату скорости.
7. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
8. Рекомендации к решению первой задачи динамики материальной точки.
9. Рекомендации к решению второй задачи динамики материальной точки.
10. Вопросы для самопроверки.

Аксиомы динамики

   Динамика – часть теоретической механики, в которой изучается движение с учётом причин, вызывающих это движение. Из этого определения следует, что различие между кинематикой и динамикой состоит в том, что в кинематике движение изучается только с геометрической стороны, независимо от сил, действующих на движущиеся тела, в динамике же движение тела изучается в связи с действующими на это тело силами.
 В целях большей систематичности изложения материала динамика делится на две части: динамику материальной точки и динамику системы.
 В динамике материальной точки изучается движение простейшего тела — материальной точки, т. е. такого тела, размеры которого малы в условиях данной задачи, так что различием в движении отдельных точек этого тела можно пренебречь. В динамике материальной системы изучается движение механической системы, т. е. совокупности материальных точек, которые благодаря существующим между этими точками связям не могут двигаться независимо друг от друга. В динамике системы рассматривается движение абсолютно твердого тела, т. е. системы материальных точек, расстояния между которыми остаются постоянными.

1. П е р в а я аксиома (закон и н е р ц и и). Если на материальную точку не действуют никакие силы, то эта точка или находится в покое ( V = 0), или движется прямолинейно и равномерно ( V = const ) . Такое состояние точки называется инерциальным.
    Так как сила выражает механическое действие, оказываемое на данную материальную точку со стороны других тел, то, чтобы представить себе точку, поставленную в те условия, о которых говорится в первой аксиоме, нужно вообразить, что эта точка изолирована от всяких воздействий на нее со стороны окружающих тел.
    Свойство материальной точки сохранять свою скорость неизменной как по модулю, так и по направлению, или сохранять состояние покоя, называется инертностью или инерцией. Это свойство было указано еще Галилеем.
   Сформулированная аксиома применима только к инерциальным системам.
    Из этой аксиомы вытекает, что если точка имеет движение, отличное от инерциалъного, т. е. прямолинейного и равномерного, то на нее действует некоторая сила.
2. Ускорение, сообщаемое материальной точке относительно инерциальной системы отсчёта, прямо пропорционально действующей на точку силе, направлено по этой силе и обратно пропорционально массе точки, где m – инертная масса.
    Способность материальной точки ''сопротивляться'' изменению её покоя или прямолинейного равномерного движения, выражает свойство инерции материальной точки.
    Масса m материальной точки представляет собой скалярную положительную и притом постоянную для данной материальной точки величину, остающуюся неизменной при любом движении этой точки.
    Это векторное уравнение, устанавливающее зависимость между тремя величинами — силой, массой и ускорением, является основным уравнением динамики материальной точки и дает динамический способ определения модуля и направления силы.
    Второму закону динамики можно дать еще другую формулировку, установив предварительно понятие количества движения.
    Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость, т. е. величина m·V количество движения, всегда совпадает по направлению со скоростью движущейся точки.
    Известно из кинематики, ускорение точки равно производной от ее скорости по времени, т. е. . Так как масса m является постоянной величиной, то уравнение второй аксиомы динамики можно представить в виде , т. е. скорость изменения количества движения материальной точки равно силе, действующей на эту точку и вызывающей изменение скорости её движения.
3. Третья аксиома (закон равенства действия и противодействия). Cилы взаимодействия двух материальных точек всегда действуют по одной прямой, противоположно направлены и численно равны между собой.  Об этом законе говорили уже в статике. Если материальная точка А действует на точку В с силой F_AB, то точка В действует на А с силой F_BA, причем F_AB = − F_BA. Если обозначим массы точек А и В через m_A и m_B, а их ускорения — через a_A и a_B, то согласно второму закону имеем: F_AB = m_B· a_B и F_BA = m_A· a_A. Из равенства F_AB = − F_BA следует, m_B· a_B = − m_A· a_A т. е. ускорения, которые сообщают друг другу две материальные точки А и В, по модулю обратно пропорциональны массам этих точек. Эти ускорения направлены по прямой АВ в противоположные стороны.
4. Четвёртая аксиома (закон независимости действия сил). Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то ускорение этой точки равно геометрической сумме тех ускорений, которые получает эта точка при действии каждой из этих сил в отдельности.
    Пусть на точку, масса которой равна m, действуют силы F₁, F₂, ..., F_n. Обозначим ускорение точки через a, а ускорения, которые имела бы эта точка, если бы каждая из данных сил действовала на нее отдельно, — через a₁, a₂, ...,a_n, тогда согласно этому закону будем иметь: a = a₁ + a₂ + … + a_n. Кроме того, на основании второго закона имеем: m a₁ = F₁, m a₂ = F₂, … m a_n = F_n. Сила F, эквивалентная данным силам F₁, F₂, ..., F_n и называемая их равнодействующей, сообщает данной точке то же ускорение a, которое получает эта точка при совместном действии этих сил m a = F, где a = Σ a_i, F = Σ F_i.

 Если a = 0, т. е. точка движется прямолинейно и равномерно или находится в покое, то F = 0 или Σ F_i = 0. В этом случае система сил F₁, F₂, ..., F_n называется уравновешенной системой.

Единица изменения силы в системе СИ

СИ   1 Н = 1 кг·1 м/с²

   В системе ''Си'' силой в один ньютон называется такая сила, которая массу в один килограмм заставляет двигаться с ускорением в 1 м/сек².

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

   Если в законе Ньютона m a = F  учесть  и в общем случае предположить зависимость силы F от времени t, положения точки r,скорости движения , то этот закон принимает вид дифференциального уравнения                                           (1)    Проектируя уравнение (1) на координатные оси декартовой системы координат, получим

;

;

.

 Таким образом, мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка, выражающих в координатной форме второй закон динамики.
 Эти уравнения, являющиеся в динамике точки основными, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Если на точку действует одновременно несколько сил, то на основании четвертого закона под F_x, F_y и F_z нужно понимать в этом случае проекции на координатные оси равнодействующей всех этих сил.

Первая задача динамики

   Зная массу точки и её закон движения можно найти действующую на неё силу: x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t), то

;

;

.

Вторая задача динамики

 Известна сила F, действующая на материальную точку данной массы. Требуется найти движение этой точки, т. е. выразить ее координаты как функции времени.
 Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения точки, т. е. уравнений (1), в которых F_x, F_y и F_z будут теперь известны, поскольку известна сила F.

Падение тела в среде, оказывающей сопротивление падению пропорционально квадрату скорости

   Пусть из состояния покоя материальная точка движется в однородном поле сил тяжести в среде, генерирующей сопротивление, пропорциональное квадрату скорости движения: R = k·σ v², k – коэффициент пропорциональности, зависящий от формы, σ - парусность тела. Уравнение движения или . (2) Если V = C= const, то из уравнения (1) имеем P = k·σ·c² и  есть скорость равномерного радения в воздухе. Так как , то из (2) имеем уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим и, интегрируя , получим . Реализовав алгоритм интегрирования дробно-рациональных выражений, найдём значения неопределенных величин ''А'' и ''В'': ;. Интегрируя, далее получим . В силу начальных условий для скорости имеем С ₁ = 0. Так что, или , или , или , или . Из последнего соотношения найдём зависимость скорости падения от скорoсти предельного движения c = Найдём закон движения при начальных условиях t = 0; x = 0. . Учитывая начальные условия, получим с₂=0 и закон движения будет иметь вид Так как , то х возрастает. Так как , то функция выпукла вниз.
   Найдём асимптотическое движение в виде х = k·t + b.
Таким образом, асимптотическое движение описывается законом
Построим график движения
Асимптотическое движение является таким равномерным движением, которое начинается выше начальной точки падения тела на величину и происходит с предельной скоростью падения. Время падения найдём из соотношения

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Начальные условия: при t = 0 имеем
- местоположение в начальный момент времени.
- проекции начальной скорости на оси координат В проекции на координатные оси уравнения движения будут иметь вид:  или . Интегрируя последние уравнения, получим или с учётом начальных условий . Проинтегрировав последнее уравнение ещё раз, получим . С учётом начальных условий имеем с₁=0, с₂=0. Таким образом, уравнения движения имеют вид . Найдём время полёта Найдём дальность полёта Найдём максимальную высоту подъёма

Рекомендации к решению первой задачи динамики материальной точки

Для решения первой задачи динамики необходимо:

1. Изобразить на рисунке материальную точку в текущем положении и приложенные к ней активные силы.
2. Применив закон освобождаемости от связей, изобразить соответствующие реакции связей.
3. Выбрать систему отсчёта, если она не указана в условии задачи.
4. Определить по заданному закону движения ускорение материальной точки и найти её проекции на выбранные оси координат.
5. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки, соответствующей принятой системе отсчёта.
6. Из системы составленных уравнений определить искомые величины.

Рекомендации к решению второй задачи динамики материальной точки

Для решения второй задачи динамики необходимо:

1. Выбрать систему координат.
2. Записать начальные условия движения точки.
3. Изобразить на рисунке активные силы и реакции связей, приложенные к материальной точке.
4. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки.
5. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения. Использовав начальные условия движения, определить постоянные интегрирования.
6. Воспользовавшись уравнениями движения материальной точки, полученными в предыдущем пункте, определить искомые величины.

Вопросы для самопроверки

1. Как формулируются основные аксиомы динамики?
2. Что такое материальная точка?
3. Что такое абсолютно твёрдое тело?
4. Какое состояние называется инерциальным?
5. Что называется инерцией материальной точки?
6. Как направлены сила, действующая на материальную точку, и ускорение, с которым точка движется под действием этой силы?
7. Как взаимодействуют две материальные точки механической системы?
8. Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки?
9. В чём состоит первая и вторая задачи динамики материальной точки?
10. Как определяются значения произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?
11. Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки?
12. Как решается первая задача динамики для материальной точки?
13. Как решается вторая задача динамики для материальной точки?