К разделу
Тема 11 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Кинетическая энергия точки.
  2. Кинетическая энергия системы.
  3. Кинетическая энергия поступательно движущегося тела.
  4. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
  5. Теорема Кёнига о сложении кинетической энергии.
  6. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
  7. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
  8. Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении.
  9. Потенциальная энергия.
  10. Закон сохранения кинетической энергии.
  11. Примеры.

Кинетическая энергия точки

 Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы на квадрат её скорости: T =½·m·v².
- размерность кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы

 Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы
.

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела

 Кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна кинетической энергии точки, масса которой равна массе всей системы и движущейся со скоростью какой-нибудь точки системы

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси


.

Теорема Кёнига о сложении кинетической энергии

 Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий центра масс, при условии сосредоточения массы всей системы в этой точке, и кинетической энергии системы при движении её вокруг центра масс.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

  1. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку
  2. Производная по времени от кинетической энергии равна мощности, подводимой к точке.
    Так как , то последнее соотношение можно записать в виде
    .
  3. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом перемещении

Теорема об изменении кинетической энергии системы

 Теорема 1. Дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы.
  Пусть точки Pk системы переместились так, что их радиус – векторы rk в инерциальной системе отсчёта получили приращение drk. Дифференциал кинетической энергии  имеет выражение
Что и требовалось доказать. Тот факт, что силы, с которыми взаимодействуют две точки системы, равны по величине и противоположно направлены, не приводит к равенству нулю работы dA(i) внутренних сил системы, так как перемещения двух взаимодействующих точек не обязательно одинаковы.
 Теорема 2. Изменение кинетической энергии системы при её перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы.
 Доказательство. Интегрируя обе части законе изменения кинетической энергии в дифференциальной форме между начальным и конечным положением системы, получим
 Частный случай. Изменение кинетической энергии твёрдого тела при каком-либо перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на тело, на соответствующих перемещениях точек тела при том же перемещении точек твёрдого тела.
 Для абсолютно твёрдого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю
.
Следовательно, теорема об изменении кинетической энергии для абсолютно твёрдого тела имеет вид
.

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движени

 Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении точки выражается так же, как и в абсолютном движении, только к элементарной работе приложенной силы добавляют элементарную работу силы инерции переносного движения на относительном перемещении

Потенциальная энергия

 Потенциальной энергией называют функцию противоположную силовой с точностью до произвольного постоянного слагаемого
U = - П + const

Закон сохранения кинетической энергии

 При движении точки в потенциальном силовом поле её полная механическая энергия остаётся постоянной величиной. Величина W = T + П называется полной механической энергией точки.
dT = dA; dT = - dП; d(T + П) = 0; Т + П = const.
При движении системы потенциальном силовом поле её полная механическая энергия внутренних и внешних сил остаётся постоянной величиной.
 Для абсолютно твёрдого тела работа внутренних сил равна нулю, поэтому для абсолютно твёрдого тела закон сохранения кинетической энергии имеет формулировку: при движении абсолютно твёрдого тела в потенциальном силовом поле её полная механическая энергия внешних сил остаётся постоянной величиной.

Примеры

 Пример 1. Найти кинетическую энергию однородного диска, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью V0.
 Пример 2. Найти кинетическую энергию однородного диска, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью V0, если в точке контакта происходит скольжение со скоростью Vk.
 Пример 3. Тело массы m падает без начальной скорости с высоты h. Найти наибольшее сжатие λ пружины, если статическая деформация равна λст.
 Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы
.
В начальный и конечный моменты времени скорости равны нулю, поэтому
.
Значит А = 0 и
.
Так как mg = c·λст, то
 Пример 4. Груз весом в 1 кг подвешен на нити длиной r = 50 см в неподвижной точке О. В начальном положении М0 груз отклонён от вертикали на угол 60° и ему сообщена скорость V0 по перпендикуляру к нити вниз, равная 350 см/сек.
1) Найти то положение М груза, в котором натяжение нити будет равно нулю, и определить скорость V0 в этом положении.
2) Определить траекторию последующего движения груза до того момента, когда нить будет натянута, и время, в течение которого точка пройдёт эту траекторию.
Р е ш е н и е.
1)  - энергия в точке М0.
- энергия в точке М1.
2)  Так как натяжение нити в точке М1 равно нулю, то .
По закону сохранения полной механической энергии имеем Е2 = Е1. Поэтому
или
Угол α найдём из соотношения
; α = 30°.
 Закон движения тела, брошенного под углом β к горизонту, имеет вид
Исключая время из системы уравнений, найдём уравнение траектории
Так как β = 90° - α = 60°, то уравнение траектории примет вид
y = x·√3 − 0,08·x2
так как tg β = √3. Уравнение окружности имеет вид,
Поскольку траектория является параболой
,
то нить натягивается, если точка попадёт на окружность

,

.
 П р и м е р 5. Однородный цилиндр весом Р и радиусом R падает вниз без начальной скорости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра в зависимости от высоты его опускания (Маятник Максвелла).
 П р и м е р 6. Найти скорость груза массы m1, после того как он опустится на h из состояния покоя.
 П р и м е р 7. В неподвижной точке О посредством нити ОМ длиной L подвешен груз М с массой m. В начальный момент нить ОМ составляет с вертикалью угол α и скорость груза М равна нулю. При последующем движении нить встречает тонкую проволоку О1, направление которой перпендикулярно к плоскости движения груза, а положение определяется полярными координатами h = OO1 и β. Определить наименьшее значение угла α, при котором нить ОМ после встречи с проволокой будет на неё наматываться, а также изменение натяжения нити в момент её встречи с проволокой. Толщиной проволоки пренебречь.
 Р е ш е н и е.
,
где r – радиус круга, по которому будет наматываться нить, встретившись с проволокой в точке О1. По закону изменения кинетической энергии T - T0 = А, причём в силу начальных условий T0 = 0, до встречи с проволокой имеем
Так как в верхней точке при наматывании нити предполагается равным нулю, то
.
Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии при движении груза от нижнего до верхнего положения при наматывании проволоки
.
Из этого уравнения имеем
Из последнего уравнения найдём
,
натяжение нити до встречи с проволокой
,
натяжение нити после встречи с проволокой
.
Изменение натяжения равно
.
Так как
,
то окончательно
.