К разделу
Тема 10 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Элементарная работа силы.
  2. Потенциальные силы.
  3. Полная работа силы.
  4. Мощность.
  5. Работа силы, приложенной к твёрдому телу.
  6. Работа силы, приложенной к свободному твёрдому телу в общем случае.
  7. Работа силы тяжести.
  8. Работа упругой силы.
  9. Работа внутренних сил твёрдого тела.
  10. Примеры.

Элементарная работа силы

 Элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение dA = Fτ·ds, где Fτ - проекция силы на направление скорости. При Fτ > 0  элементарная работа dA > 0. При Fτ < 0  элементарная работа dA < 0 (смотри рисунок). Отметим частные случаи, которые можно получить из определения элементарной работы: это случаи, когда сила направлена по направлению скорости, когда сила перпендикулярна направлению скорости и когда сила направлена противоположно направлению скорости
 Так как Fτ = F·cos φ, то dA = F·ds·cos φ. Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус-вектора точки приложения силы: d A = F·dr. Действительно, так как  и , следовательно, d s = | dr |. Поэтому
d A = F·| dr |·cos φ = F·dr .  (1)
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки. Действительно, так как dr = v·d t, то d A = F·dr = F· v·d t = F·d t· v = S·v.

Потенциальные силы

 Если силу и радиус-вектор разложить по осям координат, то F = Fx·i + Fy·j + Fz·k и r = x·i + y·j + z·k, то из соотношения (1) имеем
dA = Fx·dx + Fy·dy + Fz·dz. (2)
Формулу (2), называют обычно аналитическим выражением элементарной работы. Хотя выражение для элементарной работы (2) по форме и напоминает полный дифференциал функции координат точки, м действительности в общем случае элементарная работа не является полным дифференциалом.
 Элементарная работа является полным дифференциалом функции координат точки только для специального класса сил – так называемых потенциальных сил. Если выражение (2) является полным дифференциалом, то сила F  называется потенциальной. В этом случае
.
Для потенциальности силы должны быть выполнены соотношения
.
 Для потенциальной силы элементарная работа равна дифференциалу силовой функции U (x, y, z):
,
то есть dA = dU.

Полная работа силы

 Для определения полной работы силы на перемещении по некоторой линии γ от точки М0 до точки М1 разобьём это перемещение на n перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное, тогда
.
Или .
 Работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении
 Работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито всё перемещение
 Размерность работы [dA] = [н]·[м] = [дж] . Один джоуль это такая работа, которую совершает сила в 1 н на перемещении 1 м, если сила действует в направлении перемещения.
 Если Fτ = const, то A = Fτ·s, где s – путь, пройденный точкой. Это возможно, если F и φ переменные, но Fτ = F·cos φ = const.
 Если φ = 0 или φ = 180°, то A = ± F·s. Эта формула применима как для прямолинейного, так и для криволинейного движения. Для этого необходимо, чтобы сила F была постоянна по величине и всё время направленной по касательной к траектории точки.

Мощность

 Мощность есть скорость выполнения работы
.
Мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки.
 Если от источника силы с заданной мощностью нужно получить большую силу, то её можно получить только при малой скорости. Когда железнодорожному локомотиву нужно увеличить тягу, то для этого надо уменьшить скорость поезда.
- размерность мощности.
1 вт это такая мощность, при которой работа в 1 дж выполняется за 1 сек.

Работа силы, приложенной к твёрдому телу

 При поступательном движении (смотри рисунок)
d A = F · v dt = F · dr,
.
При вращательном движении вокруг неподвижной оси (смотри рисунок)

d A = F· v·d t = F· ( ω × r )·d t = ω· ( r × F )·d t = ω· M0·d t = M0· ω · cos α·d t = Mz · d φ.
 Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна - полная работа силы. Если Mz = const, то A = Mz·φ. Так как d A = ω· M0( F )·d t , то
   Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твёрдому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения тела.

Работа силы, приложенной к свободному твёрдому телу в общем случае

 Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке твёрдого тела, в общем случае складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки
d A = F0·dr0 + Mω·dφ
v = v0 + ω × r,
d A = F·v·dt = F·v0·dt + F·(ω × r)·dt =F·dr0 + ω·(r × F)·dt = F·dr0 + ω·M0(F)·dt = F·dr0 + Mω·dφ
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс О, для элементарной работы имеем:
dA = Mω( F ) d φ,
Поворот на угол d φ следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения (смотри рисунок).

Работа силы тяжести

 Силу тяжести P материальной точки массой m вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной по величине m g и направлен ной по вертикали вниз. Если взять оси координат Охуz, у которых ось Oz направлена по вертикали вверх, то
Px = 0, Py = 0, Pz = − m g;
.

Работа упругой силы

Линейной силой упругости, или линейной восстанавливающей силой, называют силу, действующую по закону Гука F = − c·r. В проекции на оси координат
Fx = − c·x, Fy = − c·y, Fz = − c·z.
.
с — постоянный коэффициент — коэффициент жесткости.
 Работа линейной силы упругости на перемещении из состояния статического равновесия всегда отрицательна и равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов удлинений пружины. Работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по любому замкнутому перемещению равна нулю. Она также равна нулю, если точки Мо и М лежат на одной сфере, описанной из точки статического равновесия.

Работа внутренних сил твёрдого тела

 Докажем, что для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении. Очевидно, достаточно доказать, что сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Рассмотрим две любые точки твердого тела М1 и М2. Так как внутренние силы есть силы взаимодействия точек тела, то для этих двух точек F12 = − F21. Работа внутренних сил взаимодействия равна нулю
d A(i) = d A1(i) + d A2(i) = F12·v1·dt + F21·v2·dt = F12·v1·cos α1·dt − F12·v2·cos α2·dt = F12·(v1·cos α1 − v2·cos α2)·dt = F12·0 ·dt = 0.
 Твердое тело можно считать состоящим из пар взаимодействующих точек, для каждой из которых сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю. Суммируя элементарные работы для всех пар точек, получаем Σ d Ak(i) = 0.
 Как уже известно, главный вектор и главный момент всех знутренних сил для любой механической системы равны нулю. Сумма работ внутренних сил равна нулю только в случае твердого тела, а для любой механической системы в общем случае она не равна нулю (смотри рисунок).
 В задачах в качестве механической системы часто рассматривают систему сочлененных твердых тел. При вычислении работы всех сил, лриложенных к такой системе тел, достаточно учесть работу внутренних сил в местах сочленения твердых тел. Если твердые тела сочленяются при помощи шарниров без трения, сумма работ таких двух внутренних сил равна нулю, так как внутренние силы в точке сочленения как действие и противодействие равны по величине, но противоположны по направлению, а перемещение у точек приложения сил общее.
 Cочленение твердых тел при помощи шарниров без трения при вычислении работы внутренних сил не нарушает жёсткости системы тел, так как сумма работ внутренних сил в этих шарнирах равна нулю при любых перемещениях системы сочлененных твердых тел. Систему сочлененных при помощи таких шарниров твердых тел при вычислении работы всех внутренних сил можно считать одним твердым телом. Это характерно и для случая сочленения системы твердых тел при помощи нерастяжимых нитей, канатов в т. п. В этом случае работа внутренних сил натяжений также равна нулю.

Примеры

П р и м е р 1. Найти работу всех действующих на систему сил при растяжении пружины из положения статического равновесия х1 на величину L.
Р е ш е н и е. Имеем A = A(m g) + A(N) + A(F).
Работа силы тяжести равна A(m g) = m g L·sin α. Работа нормальной силы реакции связей равна нулю: A(N) = 0. Работа упругой силы пружины равна
.
Окончательно
.
П р и м е р 2. По абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости движется без проскальзывания колесо радиуса r под действием силы F и вращающегося момента m. Найти работу всех сил.
Р е ш е н и е. Имеем d A = d A(m g) + d A(N) + d A(F) + d A(Fтр) + d A(m) = 0 +0 + d A(F) + 0 + d A(m) = d A(F) + d A(m) = F·d rc + m·dφ = ( F·r + m)·dφ, так как d rc = r·dφ
Кроме того d rk = vk·d t = 0 и d A(Fтр) = Fтр· d rk = 0.
П р и м е р 3. Найти работы трения качения на перемещении s.
П р и м е р 4. Однородный массив ABCD, размеры которого указаны на чертеже, имеет массу m = 4000 кг. Определить работу, которую необходимо затратить на опрокидывание его вокруг ребра D.
Дано: a = 8 м; b = 6 м; m = 4000 кг
Найти: А = ?.
Р е ш е н и е.
 П р и м е р 5. Определить наименьшую работу, которую нужно затратить для того, чтобы поднять на 5 м груз массой 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, коэффициент трения 0,5.
Р е ш е н и е.

 П р и м е р 6. Для того чтобы поднять 5000 м³ воды на высоту 3 м, поставлен насос с двигателем 2 л.с. Сколько времени потребуется для выполнения этой работы, если коэффициент полезного действия насоса η = 0,8?
 Замечание: Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопротивлений.
 Р е ш е н и е. Работа по поднятию воды равна A = Q·Δs. Полезная мощность равна Nполезн = η· Nзатр, 1 л.с. = 735 вт и Nзатр = 1470 вт, Nполезн = 1176 вт.