Ответы параграфа 13
| 2281. | 1) u = φ(x) + ψ(y); 2) u = y·φ(x) + ψ(y); 3) u = x·φ(x) + ψ(y); 4) u = ax² ln y + bxy + φ(x) + ψ(y). |
| 2282. | z = y² (x + y - 1). |
| 2283. | Чтобы уравнение  привести к каноническому виду, нужно решить характеристическое уравнение A dy² - 2B dx dy + C dx² = 0; в двух его интегралах φ (x, y) = ξ и ψ (x, y) = η произвольные постоянные ξ и ψ принять за новые переменные и преобразовать к этим новым переменным данное уравнение (см. задачи 1941 и 1942). В нашем примере нужно решить уравнение dx² + 4dx dy + 3dy² = 0, отсюда dy + dx = 0, dy + 3dx = 0, y + x = ξ, y + 3x = η. В новых переменных уравнение примет вид  . Отсюда u = φ (ξ) + ψ (η) = φ (y + x) + ψ (y + 3x). |
| 2284. | Характеристическое уравнение x² dy² - 2xy dx dy + y² dx² = 0, или (x dy - y dx)² = 0, или  . Решения равные: за η принимаем y. Итак, характеристики:  и y = η . Уравнение примет вид (см. задачи 1944 и 1945)  ; u = η φ (ξ) + ψ (ξ), или  . |
| 2285. | u = y·φ (y + 2x) + ψ (y + 2x). |
| 2286. | u = xy + sin y·cos x. |
| 2287. | (См. задачу 1944) u = y ln x + 2y + 1. |
| 2288. |  ; частное решение  . |
| 2289. | u = e - x·φ (x - t) + ψ (x); частное решение u = (x - t)· e- t - x. |
| 2290. | Частное решение  . |
| 2291. |  |