К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны. Эволюта

1° Кривизна: .
2° Радиус кривизны: .
3° Координаты центра кривизны:,
   Геометрическое место центров кривизны C(X; Y) называется эволютой. Последняя группа уравнений и будет параметрическими уравнениями эволюты.
4° Радиус кривизны кривой r = f(φ), где r и φ - полярные координаты: .
Определить радиус кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой в её вершине:
1778.y = 4x - x²1779.1780.x² + 4y² = 41781.1782.y = x·e- x
Определить координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
1783.xy = 4 в точке x = 2.1784.y = ln x в точке пересечения с Ox.1785. в точке пересечения с Ox.
Написать уравнение эволюты кривой и построить кривую и её эволюту:
1786.1787.x = 2 cos t, y = sin t.1788.x² - y² = a² (или x = a ch t и y = a sh t).1789.x = a (cos t + t sin t),
y = a (sin t - t cos t)
1790. Найти максимальную кривизну кривой y = ex.

1791. Доказать, что радиус кривизны цепной линии в любой точке равен y²/a и равен отрезку нормали между кривой и осью Ox.

1792. Определить радиус кривизны в произвольной точке кривой:1) r = a (1-cos φ); 2) r² = a² cos 2φ; 3) .
Определить радиус кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой в её вершине:
1793.1794.x² - y² = 4.1795.y = sin x.1796.2y = x² + 4x
Определить координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизну кривой:
1797.y = ex в точке пересечения её с Oy.1798.1799.y² = x³ в точке (1; 1).1800.y = cos x в точке x = π/4.
Написать уравнение эволюты кривой и построить кривую и её эволюту:
1801.y² = 2·(x + 1).1802.x = t², 1803.xy = 4.1804.x = a cos³ t, y = a sin³ t.
1805. Показать, что в любой точке астроиды радиус кривизны равен .