§ 3. Производная вектор-функции по скаляру и её механическое и геометрическое значение. Естественный трёхгранник кривой
точки кривой x = x(t), y = y(t), z = z(t) есть вектор-функция скаляра t. Производная 
есть тангенциальный вектор и имеет модуль 
. Поэтому, если t - время, а кривая - траектория движения, то 
есть вектор скорости, 
- вектор ускорения.Через точку М(x; y; z) кривой (рис. 34) проведём три плоскости:
1) перпендикулярную к
; она называется нормальной;2)содержащую
и 
; она называется соприкасающейся;3) перпендикулярную к первым двум.
Они образуют естественный трёхгранник (триедр) кривой. В пересечении плоскостей имеем три прямые: касательную, бинормаль и главную нормаль, определяемые векторами:
- -тангенциальный,
- бинормальный,
-главный нормальный.
; они связаны зависимостью 
и 
.Пусть М1 (X; Y; Z) - точка касательной (рис. 34). Тогда MM1 ∥
и из условия параллельности векторов получим уравнения касательной
и из условия перпендикулярности векторов получим уравнение нормальной плоскости:
.
соответственно на Bх, By, Bz или на Nх, Ny, Nz. Уравнение соприкасающейся плоскости получим, заменив в уравнении нормальной плоскости на Bх, By, Bz.
1812. Радиус-вектор движущейся точки в момент t задан уравнением 
. Определить траекторию, скорость и ускорение движения.
. Определить траекторию и скорость движения. Построить траекторию и векторы скорости в моменты t = 0, 1, 2 и 3 с.
1814. В задаче 1813 определить ускорение w движения и его тангенциальную 
и нормальную 
составляющие в любой момент t и при t = 0.
. Определить траекторию, скорость и ускорение движения и построить векторы скорости и ускорения в точках t =0, π/4, π/2.
В задачах 1816 - 1818 написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой.
1816. x = t, y = t², z = t³ в любой точке и при t = 1.1817. y = x², z² = x в любой точке (x > 0) и при x = 4.
1818. x² + y² = 10, y² + z² = 25 в точке (1; 3; 4).Указание: Взяв дифференциал от правой и левой частей каждого уравнения, найти затем отношения dx : dy : dz.
1819. Найти тангенциальный , бинормальный и главный нормальный векторы кривой x = 1 - sin t, y = cos t, z = t в точке t =0. Найти также , в той же точке.
1821. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой x = e t, y = e -t, z = t в точке t =0.
1822. Показать что уравнения x = t cos t , y = t sin t, z = t определяют коническую винтовую линию, и написать уравнения главной нормали, бинормали и касательной к ней в начале координат.1823. Написать уравнения касательной к винтовой линии x = a cos t, y = a sin t,
z = bt в любой точке и при t = π/2. Показать, что винтовая линия пересекает образующие цилиндра x² + y² = a² под одинаковым углом 
.
.
1825. Плоскость y =0 , на которой дана кривая 2z = x², y = 0, накручивается на цилиндр x² + y² = 2y. Написать параметрические уравнения образованного кривой винта и определить бинормальный вектор кривой в любой точке и в точке t = π/2, где t - угол поворота плоскости.
1826. Радиус-вектор движущейся точки в момент t задан уравнением
. Определить и построить векторы скорости и ускорения при t = π/2 и t = π.
В задачах 1827-1829 написать уравнения касательной к кривой:
1827. y = x, z = 2x² в точке x = 2.1828. x² + y² + z² = 14, x + 2y - z = 2 в точке (1; 2; 3) (см.. задачу 1818).
1829. x = 2t, y = ln t, z = t² в точке t = 1.
1830.
. Найти углы с осями координат бинормального вектора b в точке t =0.1831. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой y = x², z = y² в точке x = 1.
1832. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой x = t - sin t, y = 1- cos t,
в точке t = π.