К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой

   Кривизна 1/R есть предел отношения угла φ поворота касательной к длине дуги Δs , когда Δs → 0. Кручение 1/ρ есть предел отношения угла θ поворота бинормали к Δs, когда Δs → 0.Так как и , то 1/R и 1/ρ численно оказываются модулями векторов:
            (1)
Если кривая задана уравнением r = r (t), то
            (2)
1833. Продифференцировав равенство по t, с помощью первой формулы (1) получить разложение ускорения w на тангенциальное и нормальное: .

1834. Точка движется по параболе x = t, y = t - t², где t - время движения. Определить кривизну 1/R траектории и тангенциальное и нормальное ускорения в момент t и при t = 0.

1835. Точка движется по эллипсу x = 4 cos t, y = 3 sin t , где t - время движения. Определить кривизну 1/R траектории и тангенциальное и нормальное ускорения при t = π/4.

1836. Для движения с уравнением определить кривизну 1/R траектории и тангенциальное и нормальное ускорения в любой момент t и при t = 1.

Определить кривизну 1/R и кручение 1/ρ кривой:

1837. x = t, y = t² z = t³ в любой точке и при t = 0.

1838. x = e t, y = e - t, z = t в любой точке и при t = 0.

1839. y = x²/2, z = x³/3 в любой точке и при x = 1.

1840. Показать, что на правом винте (x = a cos t, y = a sin t, z = b t) кручение положительно, а на левом (x = a cos t, y = - a sin t, z = b t) -отрицательно.
Определить кривизну 1/R и кручение 1/ρ кривой:

1841. x = 2 t, y = ln t, z = t² в любой точке и при t = 1.

1842. x = y²/2, z = x² в любой точке и при y = 1.

1843. x = et sin t , y = et cos t, z = et в точке t = 0.