К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое изображение

1°. Определение. Переменная z называется однозначной функцией переменных x и y, если каждой паре значений x и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде
z = F( x, y)                        (1)
2°. Геометрическое изображение. Уравнение (1) геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений Ох и Оу определяет на плоскости xОу точку P(x; у), a z = F(x, y) - аппликату соответствующей точки М(x; y; z) на поверхности. Поэтому говорят, что z есть функция точки P(x; y), и пишут z = F(P).
3°. Предел функции. , если разность F(P) - A есть бесконечно малая, когда r = P0P → 0 при любом способе приближения Р к Р0 (например, по любой линии).
4°. Неприрывность функции. Функция F(x, y) называется непрерывной в точке Р0, если . Иначе говоря, функция F (x, y) непрерывна в некоторой точке (х; у), если
1844. Указать области изменений x и y, для которых следующие функции имеют вещественные значения:
1)z = x² + y²;2)az = a² - x² - y²;3)4)5)6)7)
и построить геометрическое изображение функции по сечениям поверхностей плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и z = h.

1845. Дан периметр 2p треугольника. Определить площадь S треугольника как функцию двух его сторон x и у. Определить и построить область возможных значений x и у.

1846. Для функции вычислить F (3, 1), F (1, 3), F (1, 2), F (2, 1), F (a, a), F (a, - a).

1847. Доказать, что если , то F(t·x, t·y) = t²·F(x, y).

1848. Для z = x² - xy - y² определить Δxz, Δyz, Δz. Вычислить Δxz, Δyz, Δz, если x изменяется от 2 до 2,1, а у изменяется от 2 до 1,9.

1849. Показать, что уравнение x² - y² - z² = 0 определяет z как бесчисленное множество однозначных функций x и у, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение положительной непрерывной функции. Привести пример однозначной, но разрывной функции z = F(x,y), определяемой тем же уравнением x² - y² = z².

1850. Построить линии уровней (при z = 0, 1, 2 и т. д.) функций: 1) ; 2) z = x² - y; 3) z = x² - y²; 4) z = xy.

1851.Показать, что при x → 0 и y → 0 выражение может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого приближения точки (x; y) к точке (0; 0), при котором lim u = 3, lim u = 2, lim u = 1, lim u = 0, lim u = -2. Указание. Рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у = kx.

1852.Показать,что : 1) 2) 3) при любом способе приближения точки (x; y) к точке (0; 0). Указание. Положить ху = a.

1853.Изобразить геометрически функцию:

и указать линии ее разрыва.

1854.Указать области определения функций: 1) z = x + y; 2) ; 3) 4) 5) 6) и построить геометрические изображения этих функций.

1855. Доказать, что если ,то F(a, b) + F(b, a) = 1.

1856.Показать, что уравнение определяет z как бесчисленное множество однозначных функций x и у, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение функции, положительной в области x² + y² ≤ 1 и отрицательной вне ее.

1857.Пострить геометрическое изображение однозначной функции z = F(x, y), определяемой уравнением x² + y² + z² = a², положительной в области и отрицательной вне ее. Указать линию ее разрыва.