К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

   Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0, возьмем на ней точку М(x, y, z). Уравнения нормали и поверхностей в этой точке будут:
                        (1)
Уравнение касательной плоскости:
                        (2)
В уравнениях (1) и (2) X, Y, Z - текущие координаты нормали и касательной плоскости.
Вектор назовем нормальным вектором поверхности. Если на поверхности есть точка, в которой , то она называется особой. В такой точке нет ни касательной плоскости, ни нормали к поверхности.
   Написать уравнения касательной плоскости к поверхности:
1999. z = x² + 2y² в точке (1; 1; 3). 2000. xy = z² в точке (х0; у0; z0). 2001. xyz = a³ в точке (х0; у0; z0).

2002. в точке (х0; у0; z0) и в точке (a, b, c).

2003. Определить плоскость, касательную к поверхности x² + 4y² + z² = 36 и параллельную плоскости х + у - z = 0.

2004. Написать уравнения нормали в точке (3; 4; 5) к поверхности конуса x² + y² = z². В какой точке конуса нормаль неопределенна? (видео)

2005. Найти углы с осями координат нормали к поверхности x² + y² - xz - yz = 0 в точке (0; 2; 2).

2006. Написать уравнения нормали к поверхности x²z + y²z = 4 в точке (- 2; 0; 1). Построить нормаль и поверхность.

2007. Показать, что касательные плоскости к поверхности xyz = a² образуют с плоскостями координат пирамиды постоянного объема.

2008. Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, касательной к поверхности x2/3 + y2/3 + z2/3 = a2/3, равна постоянной величине а².

2009. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к геликоиду в точке (а; а; πа/4). Построить поверхность по сечениям: z = 0; πа/4; πа/2; πа.
2010. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности az = x² + y² в точках пересечения ее с прямой х = у = z.

2011. Показать, что касательная плоскость к поверхности в точке над ней (х0; у0; z0) определяется уравнением .

2012. Написать уравнения нормали к поверхности x² + y² - (z - 5)² = 0 в точке (4; 3; 0). Построить в первом октанте поверхность и нормаль.

2013. Найти углы с осями координат нормали к поверхности 2z = x² - y² в точке (2; 2; 0).

2014. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к коноиду (2a² - z²) x² - a² y² = 0 в точке (а; а; а).

2015. Показать, что сумма отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, касательной к поверхности x½ + y½ + z½ = a½, равна постоянной величине а.

2016. В какой точке касательная плоскость к поверхности z = 4 - x² - y² параллельна: 1) плоскости хОу; 2) плоскости 2х + 2у + z = 0? Написать уравнения этих касательных плоскостей.