К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент

   Уравнение u = F(x, y) определяет и в каждой точке (х; у) некоторой области, которая называется полем скаляра u. Вдоль каждой из линий F(x, y)=u1, F(x, y) = u2, …, где u1, u2 … – постоянные, скаляр u остается постоянным и меняется только при переходе точки (х; у) с одной линии на другую. Эти линии называются изолиниями (изотермами, изобарами и т.п.), или линиями уровней.
   Уравнение u = F(x, y, z) определяет поле скаляра u в некоторой части трехмерного пространства. Изоповерхностями, или поверхностями уровней, будут: F(x, y, z) = u1, F(x, y, z) = u2, …. Пусть точка (х; у; z) перемещается по прямой x = x0 + l·cos α, y = y0 + l·cos β, z = z0 + l·cos γ со скоростью . Тогда скаляр u = F(x, y, z) будет изменяться со скоростью где – нормальный вектор изоповерхности, а – единичный вектор направления l. Производная называется производной от функции u = F(x, y, z) в данном направлении .
   Градиентом скаляра u = F(x, y, z) называется вектор . Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего изменения скаляра u.

2017. Пусть z = 4 - x² - y². Построить линии уровней и grad z в точке А (1; 2). (видео)

2018. Пусть . Построить линии уровней и grad z: 1) в любой точке прямой у = х; 2) в любой точке прямой у = - х, в частности в точках (1/2; ±1/2), (1; ±1), …

2019. Горизонтали возвышенности определяются уравнением . Построить горизонтали, соответствующие отметкам h = 20 м, 19 м, 18 м, 16 м и 11 м. Направление grad h определяет здесь направление линии наиболее крутого ската, а величина - крутизну этого ската возвышенности. Построить grad h в точке х = 2 и у = 1.

2020. Найти наибольшую крутизну поверхности z² = xy в точке (4; 2).

2021. Найти производную функции u = ln (ex + e y) в направлении, параллельном биссектрисе координатного угла.

2022. Найти производную функции u = x² + y² + z² в точке (1; 1; 1) в направлении l{cos 45°; cos 60°; cos 60°} и найти grad u в той же точке и его длину. Построить поверхности уровней. (видео)

2023. Построить поверхности уровней скаляра u = x² + y² - 2z и найти и построить grad u в точках пересечения оси Ох с поверхностью u = 4.

2024. Найти производную функции в точке (a, b, c) в направлении радиуса-вектора этой точки. (видео)
2025. Пусть . Построить линии уровней и grad z в точке (-1; 2) и найти | grad z |.

2026. Пусть u = xyz. Найти производную dy/dl в направлении, составляющем с осями координат равные углы, в любой точке и в точке (1; 2; 1).

2027. Построить поверхности уровней скаляра u = x² + y² - z², определить grad u на поверхности, проходящей через начало координат, и построить его в тех точках этой поверхности, в которых у = 0 и z = 2.

2028. Пусть . Найти grad u и его длину. (видео)

2029. Построить изоповерхности поля функции и найти производную от и в точке (a; b; с) в направлении радиус-вектора этой точки. (видео)