§ 12. Экстремум функции двух переменных
= 0 и 
= 0 . Эти точки называются критическими.2°. Достаточные условия. Обозначим через А, В и С значения производных
, 
, 
в критической точке (х0; у0).Тогда, если:
1)
то F (х0; у0) = zmax при A < 0, F (х0; у0) = zmin при A > 0;2)
то экстремума нет;3)
то экстремум может быть, а может и не быть (сомнительный случай).3°. Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции z = F(x, y) при условии, что х и у связаны уравнением φ(х, у) = 0, составим вспомогательную функцию u = F(x, y) + λ φ(х, у). Координаты экстремальной точки (х; у) должны удовлетворить трем уравнениям: φ(х, у) = 0,
, из которых и находятся λ, х и у.Найти экстремум функции:
| 2030. | z = x² - xy + y² + 9x - 6y + 20. (видео) | 2031. |  |
2032. | z = x³ + 8y³ - 6xy + 1. (видео) |
| 2033. | z =2xy - 4x - 2y. | 2034. | z = e x/2 (x + y²). | 2035. | z = sin x + sin y + sin (x + y) при 0 ≤ x ≤ π/2 и 0 ≤ y ≤ π/2. |
| 2036. |  при x + y = 2. (видео) |
2037. | z = x + y при  (видео) |
2039. Построить эллипс х² + 4у² = 4 и прямую 2х + 3у - 6 = 0 и на эллипсе найти точки, наиболее и наименее удаленные от прямой. (видео)
2040. На гиперболе х² - у² = 4 найти точку, наименее удаленную от точки (0; 2).2041. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность равна S = 6π м². (видео)
2042. 1) В эллипс х² + 3у² = 12 вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей. 2) Ось Ох расположена на границе двух сред. По какому пути должен пройти луч света из точки А(0; а) в точку В(с; - b), чтобы затратить на прохождение этого расстояния наименьшее время (а > 0, b > 0, c > 0)?Указание. Нужно найти минимум функции
при условии a tg α + b tg β = c, где v1 и v2 – скорости света в двух средах, а α и β – углы падения и преломления.
Найти экстремумы функций:
| 2043. | z = 3x + 6y - x² - xy - y². | 2044. | z = x ² + y ² - 2 x - 4 √xy - 2y + 8 |
| 2045. | z = 2x ³ - xy² + 5x² + y². | 2046. | z = 3 x ² - 2 x √y + y - 8 x+ 8 |
2048. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда при условии, что длина его диагонали равна 2√3.
2049. 1) На параболе y² = 4x найти точку, наименее удаленную от прямой х - у + 4 = 0. 2) В эллипс
вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти эту площадь.
2050. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность равна S.