К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 4. Производные сложных функций

   1°. Если z = F(x, y), x = f(t), у = φ(t), то z называется сложно функцией от t. При этом
                        (1)
если функция F, f и φ дифференцируемы.
   2°. Если z = F(x, y), где x = f(u, v), у = φ(u, v), если функции F, f и φ дифференцируемы, то:
                        (2)
1894. Найти по формуле (1) dz/dt из уравнений:
  1. z = x² + xy + y², x = t², y = t.
  2. , x = sin x, y = cos t.
Проверить предварительной подстановкой значений x и у в выражение для функции z.

1895. Найти dz/dt, если , x = e t, y = 1 - e2t.

1896. Найти dz/dx, если z = uv, где u и v – функции от x.

1896. Найти dz/dx, если z = u, где u и v – функции от x.

1897. Найти dz/dx, если z = xey, где y – функция от x.

1898. Функция z = F(x, y) называется однородной, если F(x·t, y·t)=tn·F(x, y). Дифференцируя обе части этого равенства по t и полагая в результате t = 1, доказать теорему Эйлера об однородных функциях:

1899. Найти z/u и z/v, если z = x²/у, где x = u - 2v, у = v + 2u.

1900. Пусть z = F(x, y). Выразить z/x и z/y через z/u и z/v, если: 1) u = mx + ny, v = px + qy; 2) u = xy, v = y/x.

1901. Пусть u = F(x, y), где х = r cos φ, y = r sin φ. Выразить u/r и u/φ через u/х и u/у и показать, что
.
1902. Пусть z = y + F(u), где u = x² - y². Доказать, что для любой дифференцируемой функции F(u).
1903. Найти dz/dt из уравнений: 1) z = x² + 2Bxy + Cy², x = sin t, y = cos t; 2) , x = e 2t + 1, y = e 2t - 1.

1904. Доказать, что если z = xy + xF(u), где u = y/x, то .

1905. Доказать, что если z = y φ(u), где u = x² - y², то .

1906. Пусть z = F(x, y). Выразить z/x и z/y через z/u и z/v, если: 1) u = x + 2y, v = x - y; 2) , v = x + y.