К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 5. Производные неявнях функций

   1°. Уравнение F(x, y) = 0, имеющее решение (х0, у0) определяет в окрестности х0 переменную у как непрерывную функцию х при условии, что производная и непрерывна в некоторой окрестности точки (х0, у0).
   Если, сверх того, в окрестности точки (х0, у0) существует непрерывная производная , то неявная функция имеет производную , определяемую формулой
.
   1°. Уравнение F(x, y, z) = 0 при аналогичных условиях определяет z как неявную функцию х и у, имеющую частные производные
.
   Найти из уравнений:
1907. х² + y² - 4x + 6y = 0. 1908. 1) x 2/3 + y 2/3 = a 2/3; 2) xe2y - ye2x = 0.
1909. A x² + 2B xy + C y² + 2D x + 2E y + F = 0.
Найти угловой коэффициент касательной к кривой:

1910. x² + y² = 10 x в точке пересечения ее с прямой x = 3 .

1911. x ³ + y ³ - 2a xy = 0 в точке x = y = a.

1912. Найти точки, в которых касательная к кривой x² + y² + 2 x - 2 y = 2 параллельна: 1) Ох; 2) Оу.

Найти и из уравнений:
1913. x ² + y ² + z ² - 6 x = 0. 1914. z ² = xy. 1915. cos (ax + by - cz) = k·(ax + by - cz).
1916. Доказать, что если xyz = a ³, то .

1917. Показать, что дифференциальному уравнению удовлетворяет неявная функция z, определяемая уравнением (конических поверхностей) z/x = φ(y/x).

Найти из уравнений:
1918. x² - 4y² = 4. 1919. xy + ln y + ln x= 0. 1920. x + y = e y/x. 1921. 2 cos (x - 2y) = 2y - x.
1922. Найти угловой коэффициент касательной к кривой y² - xy = 4 в точках пересечения ее с прямой х = 3.

1923. Пусть x² + y² + z² - 2zx = a². Найти и .

1924. 2 sin (x + 2y - 3z) = x + 2y - 3 z. Показать, что .

1925. Показать, что дифференциальному уравнению удовлетворяет неявная функция, определяемая уравнением (цилиндрических поверхностей): x - mz = φ(y - nz).