К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 6. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков

   Пусть дана функция z = F(x, y), имеющая частные производные и . Частные производные от этих производных называются частными производными второго порядка. Они обозначаются:
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего порядка и других высших порядков.
   Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны, если они непрерывны:
и т. д.
Получим следующую таблицу производных высших порядков:
  1. второго порядка
  2. третьего порядка и т. д.
Полные дифференциалы высших порядков определяются так:
Символически это равенство можно записать так: . Аналогично .

1926. Найти частные производные третьего порядка функции z = x³ + x²y + y³.

1927. Проверить, что для функций: 1) z = sin (ax - by); 2) z = x²/ y²; 3) z = ln (x - 2y).

1928. Найти частные производные четвертого порядка функции u = x 4 + 3x²y² - 2y 4.

1929. Найти частные производные третьего порядка функции u = y / x.

1930. Пусть ; проверить, что .

1931. Найти частные производные второго порядка функции .

1932. Доказать, что если , то .

1933. Доказать, что если u = arctg (2x - t), то .

1934. Доказать, что если , то .

1935. Показать, что функция u = x e - y/x удовлетворяет дифференциальному уравнению
.
1936. Доказать, что если z = F(x, y) - однородная функция n - го измерения, то
,
или символически .
Указание. Равенство (см. задачу 1898) продифференцировать: 1) по х; 2) по у, и результаты, умноженные соответственно на х и на у, сложить почленно.

1937. Проверить равенство для однородных функций:
1) z = x² + xy + y²; 2) ; 3) ; 4) .

1938. Найти d²u, если: 1) ; 2) .

1939. Доказать, что если z = cos (mx + ny), то d²z = - z (mx + ny)².

1940. Доказать, что если z = ln (ax + by), то: 1) d²z = 2dz ³; 2) dn z = (- 1)n - 1 (n - 1) ! dz n.

1941. Доказать, что если z = F(u, v), где u = mx + ny и v = px + qy, то

.

1942. Преобразовать выражение к новым переменным u = 3х + у и v = х + у (см. задачу 1941).

1943. Преобразовать выражение к новым переменным u = 2х + у и v = у (см. задачу 1941).

1944. Доказать, что если z = F(u, v), где u и v – функции от х и у, то
.
Определить аналогично .

1945. Преобразовать выражение к новым переменным u = х у и v = у/х (см. задачу 1944).

1946. Преобразовать выражение к новым переменным х = r cos φ и у = r sin φ (см. задачу 1944).
1947. Найти частные производные второго порядка функции .

1948. Найти частные производные третьего порядка функции .

1949. Доказать, что если , то .

1950. Доказать, что если s = ln (ax - bt), то .

1951. Доказать, что если , то .

1952. Доказать, что если z = e x/y, то .

1953. Пусть u = ln х. Найти d ²u и d ³u.

1954. Преобразовать выражение к новым переменным u = ах + у и v = ах - у (см. задачу 1941).

1955. Преобразовать выражение к новым переменным u = у и v = y/x (см. задачу 1944).

1956. Показать, что функция при любых дважды дифференцируемых функциях f и φ удовлетворяет дифференциальному уравнению

.