В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Предметный указатель

Ответы

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 7. Интегрирование полных дифференциалов

1°. Чтобы выражение Pdx + Q dy, где Р и Q – дифференцируемые функции х и у, было полным дифференциалом du, необходимо и достаточно выполнение условия

.
Для нахождения u из условий

получим u = ∫P dx + φ₁(y), u = ∫Q dy + φ₂(x). Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго – члены с у, недостающие в первом, получим функцию u.
2°. Чтобы выражение P dx + Q dy + R dz, где Р, Q и R – дифференцируемые функции от х, у и z, было полным дифференциалом du, необходимо и достаточно выполнение условий:

;

. Для нахождения u имеем: u = ∫P dx + φ₁(y, z), u = ∫Q dy + φ₂(x, z), u = ∫R dz + φ₃(x, y). Выписав из первого выражения все известны члены, а из второго и третьего – недостающие члены с у и z, получим функцию u. Нахождение функции по ее полному дифференциалу называется интегрированием полного дифференциала.
Проверить, что следующее выражение является полным дифференциалом du, и найти u:

1957.	(2x + y) dx + (x - 2y - 3) dy	1958.	x sin 2y dx + x² cos 2y dy	1959.
1960.		1961.	(yz - 2x) dx + (xz + y) dy + (xy - z) dz	1962.

Проверить, что следующее выражение является полным дифференциалом du, и найти u:

1963.	(y² - 1) dx + (2xy + 3y) dy	1964.	(sin 2y - y tg x) dx + (2x cos 2y + ln cos x + 2y) dy
1965.		1966.
1967.		1968.