К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 8. Особые точки плоской кривой

   Точка кривой F (х, у) = 0 называется особой, если в этой точке = 0 и = 0.
   Угловой коэффициент k = y' касательной в такой точке находится из уравнения А + 2Вk + Ck² = 0, где А, В и С – значения производных , и в этой особой точке. При этом возможны три случая:
  1. В² - АС > 0 - две касательных; точка называется узлом,
  2. В² - АС < 0 - нет касательной; точка изолированная,
  3. В² - АС = 0 - или изолированная точка, или точка возврата, или точка самосоприкосновения; в точках возврата и самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям кривой.
   Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окончательно, нужно узнать, имеются ил точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки.
   Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые:
1969.x ³ + x² - y² = 0.1970.y² = (x + 2)².1971.x ³ - x² - y² = 0.
1972.y² + x4 - x² = 0.1973.(y - x)² = x ³1974.y² = x (x - 2)².
   Определить области расположения, особые точки и асимптоты кривых и построить кривые:
1975.(x + 2a)³ + xy² = 0.1976.x ³ - y³ - 3y² = 0.1977.x ³ + y ³ - 3axy = 0.1978.y² (x² - a²) = x4.
   Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые:
1979.y ² + x ³ - 2x² = 0.1980.a²y² = x² (2ax - x²).1981.y ² = x (x + 2 )².
1982.xy² = (x + a) ³.1983.4y² = x5 + 5x4.1984.y² - x4 + x² = 0
1985. Найти точки пересечения с соями координат, ymax, особую точку асимптоту кривой 4 x² - y² + x ³ - y ³ = 0 и построить кривую.
   Определить области расположения, особые точки и асимптоты кривых:
1986. 1)y² (2a - x) = x (x - a)² (строфоида)2)a² (x² + y²) = x²y².
1987. 1)x (x² + y²) = a (x² - y²).2)a (x² + y²) = x (x² - y²).