К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 9. Огибающая семейства плоских кривых

   Кривая называется огибающей семейства кривых F(x, y, α) = 0, если: 1) она касается каждой кривой семейства; 2) каждая ее точка является точкой ее касания с кривой семейства, отличной от нее самой. Огибающая семейства кривых F(x, y, α) = 0, если она существует, находится исключением параметра α из уравнений
F(x, y, α) = 0 и F′α(x, y, α) = 0.
Может, однако, случиться, что полученная этим способом кривая будет не огибающей, а геометрическим местом особых точек кривых семейства [см. ответ к задаче 1990, 2)].
   Найти огибающую семейства кривых и построить огибающую и кривые семейства:
1988. 1)y = ax + a²;2)1989. 1)(x - a)² + y² = R²;2)4ay = (x - a)².
1990. 1)y - 1 = (x - a)²;2)(y - 1) ³ = (x - a)²;3)(y - 1) ² = (x - a)³;4)9 (y - a)² = (x - a)³.
1991. Отрезок постоянной длины а скользит своими концами по координатным осям. Найти огибающую семейств таких отрезков.

1992. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центр на параболе у² = 4х.

1993. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих диаметрами радиус-векторы точек гиперболы ху = а².

1994. Из начала координат выпускается снаряд с начальной скоростью b под углом α к оси Ох. Найти огибающую семейства траекторий при различных α.

1995. Найти огибающую: 1) семейства прямых x cos α + y sin α - p = 0 при постоянном р; 2) семейства прямых ; 3) семейства кубических парабол y - 1 = (x - a) ³.

1996. Найти огибающую семейства окружностей с центрами на оси Ох, радиусами которых служат соответствующие ординаты параболы у² = 4х.

1997. Найти огибающую семейства эллипсов при условии, что сумма полуосей имеет постоянную длину l.

1998. Найти огибающую семейства парабол, имеющих ось симметрии, параллельную оси Оу, и проходящих через точки (- а; 0); (3а; 0) и (0; 3а²) при различных а.