К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

ГЛАВА 12
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1.ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

1º.Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка называется уравнение вида

F(x, y', y'', … , y(n)) = 0,  (1),
где y = y (x)- искомая функция. Любая функция   y = y(x), обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции – интегральной кривой.

Если решение задано в неявном виде Ф(x, y) = 0, то оно обычно называется интегралом уравнения (1).

Функция y = φ(x, C1, …,Cn), содержащая n независимых произвольных постоянных, называется общим решением уравнения (1), если она является его решением при любых значениях постоянных C1, …,Cn. Если эта функция задается в неявном виде выражением Ф (x, y, C1,…, Cn ) = 0, то это выражение называется общим интегралом уравнения (1). Придавая в выражении y = φ (x, C1,… ,Cn) или в выражении Ф (x, y, C1, …, Сn) =0 определенные значения постоянным С1 , …, Сn, получаем частное решение или соответственно частный интеграл уравнения (1).

Обратно, имея семейство кривых, задаваемых уравнением  Ф (x, y, C1, …, Cn) = 0 и исключая параметры С1, …, Сn из системы уравнений

Ф = 0,   , …,
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1), для которого   Ф (x, y, C1, …, Cn ) = 0 является общим интегралом.

2º .Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е   у р а в н е н и е   п е р в о г о п о р я д к а имеет вид

.(2)
Решив уравнение (2) относительно , если это возможно, получим
.(3)
Уравнение (3) определяет наклон  интегральной кривой в точке (x; y), т. е. определяет поле направлений интегральных кривых.

Если в некоторой области функция f (x, y )  непрерывна и имеет ограниченную частную производную fy' (x , y), то оказывается , что через каждую внутреннюю точку (x0; y0) этой области пройдет единственная интегральная кривая.

В такой области уравнение (3) имеет общее решение y = φ (x, C), или общий интеграл Ф (x, y, C) = 0, из которого можно найти единственное частное решение, или единственный частный интеграл, удовлетворяющие начальным условиям: y = y0 при x = x 0.

2051. Проверить подстановкой , что функция y = C·x3 является решением дифференциального уравнения 3·y – x·y′ = 0. Построить интегральные ктивые, проходящие через точки: 1) (1; 1/3); 2) (1;1); 3) (1; − 1/3).

2052. Проверить подстановкой, что дифференциальные уравнения 1) y ″ + 4·y = 0 и 2) y″′ − 9·y′ = 0 имеют соответственно общие решения: 1) y = C1·cos 2x + C2·sin 2x и  2) y = C1 + C2·e3x + C3·e–3x.

2053. Построить параболы y = C·x2 при С = 0, ± 1, ± 2 и составить дифференциальное уравнение семейства таких парабол.

2054. Построить изображения семейства: 1) окружностей x2 + y2 = 2·C·x, 2) парабол y = x2 + 2·C·x и составить их дифференциальные уравнения.

2055. Построить изображения полей направлений, определяемых каждым из уравнений:

1) ;  2) ;  3)

2056. Построить изображение поля направлений, определяемого уравнением , с помощью окружностей, вдоль которых ; 1; 2 ; 3 ; …. Нарисовать приближенно интегральную кривую, проходящую через начало координат.