К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории.

1º. Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е   у р а в н е н и е п е р в о г о  п о р я д к а

P dx + Q dy = 0,( 1 )
где Р и Q - функции x и y, называется уравнением с разделяющимися переменными, если коэффициенты P и Q при дифференциалах разлагаются на множители, зависящие только от x или только от y, т. е. если оно имеет вид
f (x)·φ(y)· d x + f1( x )· φ1( y)· dy = 0.( 2 )

Разделив оба члена уравнения (2) на φ(y )·f1(x), получим

( 3 )

Общим интегралом уравнения (3), а следовательно и (2), будет

( 4 )

2° . О р т о г о н а л ь н ы м и  т р а е к т о р и я м и  семейства линий F (x, y, a) = 0 называются линии, пересекающие линии данного семейства под прямым углом. Продифференцировав уравнение F (x, y, a ) = 0 по x и исключив a из полученного и данного уравнений, получим дифференциальное уравнение линий данного семейства y′ = f ( x, y ). Тогда дифференциальным уравнением ортогональных траекторий будет

.

В следующих дифференциальных уравнениях: 1) найти общий интеграл;2) построить несколько интегральных кривых; 3) найти частный интеграл по начальным условиям: y = 4 при x = − 2 .

2057.x·y′ – y = 0. 2058.x· y′ + y = 0.2059. y·y′ + x = 0. 2060. y ′ = y.

Найти общие интегралы уравнений:

  1. 2061. x2y′ + y= 0. (видео)
  2. 2062.  x + x· y + y′·(y + x·y) = 0.
  3. 2063.  φ2·d r + (r – a)·d φ = 0.
  4. 2064.  2·s·t 2·d s = (1 + t2)·d t. (видео)

В следующих уравнениях найти общий и частный интегралы по начальным условиям:

2065. 2 y '·√x = y, y = 1 при x = 4. 2066.(видео)
2067.x2·y′ + y 2 = 0, y = 1 при x = − 1.

2068. Построить интегральные кривые каждого из уравнений: 1) y ′ ·(x2 − 4) = 2·x·y; 2) y ′ + y·tg x = 0, проходящие через точки: 1) (0;1); 2) (0; ½); 3) (0; − ½); 4) (0; − 1 ).

2069. Найти кривую, проходящую через точку (1; 1/3), если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой втрое больше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.

2070. Кривая проходит через точку А (0; a), MN - произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь OAMN = a·s, где s - длина дуги AM.

2071. Найти кривую, проходящую через точку (a; a), если подкасательная в любой точке её равна удвоенной абсциссе точки касания.

2072. Найти кривую, проходящую через точку ( − 1; − 2), если поднормаль её в каждой точке равна 2.

2073. За какое время тело, нагретое до 100º, охладится до 25º в комнате с температурой 20º, если до 60º оно охлаждается за 10 минут? (По закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур.)

2074. Нагрузка на канат висячего моста (с. 33, рис. 6) от каждой единицы длины горизонтальной балки равна р (Н). Пренебрегая весом каната, найти его форму , если натяжение каната в низшей точке принять за H (Н).

Указание. Возьмем на дуге ОС произвольную точку М. На часть каната ОМ будут действовать три силы: горизонтальная Н (влево от точки М), вертикальная – вес px и тангенциальная сила натяжения Т (вправо от точки М). Для равновесия сумма проекций сил на Оx и Оy должна равняться 0.

2075. Определить и построить кривую. Проходящую через точку Р ( − а; а), если отрезок АВ любой касaтельной к ней, заключенный между осями координат, делится точкой касaния М пополам.

2076. Найти ортогональные траектории семейства парабол a·y = x2. Построить их.

2077. Найти ортогональные траектории семейства гипербол x·y = c.

2078. Найти ортогональные траектории семейства полукубических парабол a ·y2 = x3.

2079. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов x2 + 4·y2 = a2. (видео)

Решить уравнения:

  1. 2080.  y ′·x3 = 2·y .
  2. 2081.  (x2 + x )·y′ = 2·y + 1.
  3. 2082.  .
  4. 2083.  (1 + x2)·y′ + 1 + y2 = 0.
  5. 2084. dr + r·tg φ·dφ = 0; r = 2 при φ = π.
  6. 2085. y′ = 2·√y·ln x; y = 1 при x = e. (видео)
  7. 2086. , y = 1 при x = 0. (видео)

2087. Определить кривую, проходящую через точку А ( − 1; 1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

2088. Кривая проходит через точку А (0; а), MN - произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь OAMN = a ( MN – a).

2089. Определить и построить кривую , проходящую через точку (-1; -1), для которой отрезок OT, отсекаемый на оси Ox касательной к кривой в любой её точке, равен квадрату абсциссы точки касания.

2090. Найти ортогональные траектории семейства гипербол x2 – 2·y2 = a2.

2091. Определить кривую, радиус-вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью Ox.

2092. Определить линию, если площадь, ограниченная осями координат, этой линией и производной её ординатой , равна 1/3 площади прямоугольника, построенного на координатах конечной точки кривой.