К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§3. Дифференциальные уравнения первого порядка:
1) однородное, 2) линейное. 3) Бернулли

1º .О д н о р о д н о е  у р а в н е н и е . Уравнение P·dx + Q·dy = 0 называется однородным, если P и Q - однородные функции от x и y одинакового измерения. Оно приводится к виду и решается подстановкой или y = u·x.

2º .Л и н е й н о е  у р а в н е н и е . Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции y и всех её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид  y′ + P·y = Q. Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой y = u·v. Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решаем уравнение y′ + P·y = 0; получаем

.
Представляем это решение в данное уравнение , считая A функцией x, и затем находим A′ и A.

3º У р а в н е н и е   Б е р н у л л и y ' + P·y = Q·yn решается также , как и линейное, подстановкой y = u·v или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой z = y1 - n.

Решить дифференциальные уравнения:

2093. y·y ' = 2·y - x. (видео) 2094.x2 + y2 – 2·x·y·y ' =0.2095..2096..
2097.. (видео)2098.y ' cos x – y· sin x = sin 2x.2099. y '·x + y = - x·y2. (видео) 2100..
2101..2102.x2·y ' = y2 + x·y.2103. x·y ' + y = ln x + 1.2104. x2· y2 − y ' + y · x3 = 1.

В задачах 2105 – 2107 найти частные интегралы по данным начальным условиям:

2105.; y = 0 при x = 1. 2106.;   s = 1 при t = − 1 .
2107. ; при х = 1.

2108. Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке которых есть среднее арифметическое координат точки касания.

2109. Найти ортогональные траектории семейства окружностей x2 + y2 =2·a·x.

2110. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и электродвижущей силой E удовлетворяет дифференциальному уравнению

.
Решить это уравнение, считая R и L постоянными, а электродвижущую силу E линейно нарастающей: E = k·t. Начальные условия: i = 0 при t = 0.

2111. Найти форму зеркала, отражающего все лучи. Выходящие из данной точки, параллельно данному направлению.
Указание. Рассматривая плоское сечение зеркала, примем в нем данную точку за начало координат. А данное напрвление – за ось Oy. Касательная к искомой кривой в точке М образует равные углы с ОМ и осью Оy, т. е . отсекает на оси Oy отрезок ON = OM .

Решить дифференциальные уравнения:
2112.x·y +y2 = (2·x2 + x·y)·y '.2113.(a2 + x2)· y ' + x·y = 1.2114.xy ' + 2√xy = y.
2115.(2·x + 1)·y ' + y = x.2116.y ' − y·tg x = ctg x. 2117.t·ds – 2·s·dt = t3·ln t· dt.
2118.y ' + x·y = x·y3.2119.y ' + y·cos x = sin 2x.2120. ; y = 1 при x = − 1.
2121.3·y2·y ' + y3 = x + 1; y = – 1 при x = 1. 2122. (1 − x2)·y ' − x·y = x·y2; y = 0,5 при x = 0.

2123. Определить кривую, проходящую через точку A (a; a) , если расстояние от начала координат до касательной в любой точке кривой равно абсциссе этой точки.