К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

1°. Если в дифференциальном уравнении
Р · dx + Q ·dy = 0
, то оно приобретает вид du = 0 и его общий интеграл будет u = С.
2ª. Если , то при некоторых условиях существует функция μ (х, у) такая, что μ·P·dx + μ·Q ·dy = du. Эта функция μ (x ,y ) называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко найти в случаях:

1)  когда , тогда ln μ = ∫ Φ (x) d x;
2)  когда , тогда ln μ = ∫ Φ1 (y) d y.
Дифференциальные уравнения §4 являются частными слу­чаями уравнений, рассматриваемых в настоящем параграфе.

Решить следующие дифференциальные уравнения "в полных дифференциалах":

2135. .2136. 3·x2·ey· dx + (x3·ey – 1)· dy = 0.
2137. e -y·dx + (1 – x·e -y)·dy = 0.2138.2·x·cos2у·dx + (2·у – x2·sin 2у)·dy = 0.

Найти интегрирующие множители и решить дифференциальные уравнения:

2139. (x2 – у)·dx + х· dy = 0.2140.2·x·tg y·dx + (x2 – 2·sin y)·dy = 0.
2141.(e 2x – y2)·dx + y·dy = 0.2142.(1 + 3·x2·sin y)·dx – x·ctg y·dy = 0.
   Показать, что левые части следующих дифферен­циальных уравнений суть полные дифференциалы, и решить уравнения:
2143.(3·х2 + 2·у)·dx + (2·x – 3)·dy = 0.2144.(3·x2·y – 4·x·y2)·dx + (x3 – 4·х2·у + 12·y3)·dy = 0.
2145. (x·cos 2у + 1)· dx – x2· sin 2y· dy = 0.

Найти интегрирующие множители и решить дифференциальные уравнения:

2146.у2·dх + (у·х – 1)·dy= 0.2147.(x2 – 3·y2)· dx + 2·x·y· dy = 0.
2148.(sin x + ey)· dx + cos x· dy = 0. 2149.(x·sin у + у)·dx + (x2·cos у + x·ln x)·dy = 0.