К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§6. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро

   1°. Если уравнение F( x, у, у ' ) = 0 второй степени относительно у ', то оно имеет два решения относительно у ': y '= f1(х, у) и y '= f 2(х, у), непрерывных относительно х и у в некоторой области, а геометрически определяет в любой точке (x0; y0) этой области два направления интегральных кривых.
   Такие дифференциальные уравнения F( х, у, у ')=0, кроме общего интеграла Ф(х, у, С)=0 и частных интегралов, иногда имеют еще особый интеграл, не содержащий произвольной постоянной и в то же время не получающийся из общего ни при каком значении постоянной.
   Особый интеграл, если он существует, можно получить, исключив р = y' из уравнений F (x , у, р)=0 и F 'p(х, у, р) = 0 или же исключив С из общего интеграла Ф (х, у, С) = 0 и Ф'C = 0. Геометрически особый интеграл определяет огибающую семейства интегральных кривых.

2°. Уравнение Лагранжа

у = x·f (р) + φ (р)(1)
где р = у ', интегрируется следующим образом.
Продифференцировав (1) по х, найдем:
.
Это уравнение линейное относительно х и . Решив его, получим:
х = С·А (р) + В (р).(2)
Уравнения (1) и (2) будут параметрически определять общий интеграл. Исключив из них параметр р (если что возможно), получим общий интеграл в форме Ф (x, у, С) = 0.

3°. Уравнение Клеро

у = р·х + φ (р)(3)
является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно имеет общий интеграл y = С·х + φ(C) и особый, получающийся исключением параметра р из уравнений y = p·x + φ(p) и x = - φ'(p).
2150. Построить несколько интегральных кривых уравнения y '2 = 4·y. Какие две интегральные кривые проходят через точку М(1; 4)?
2151. Построить интегральные кривые уравнения y'2 + y2 – 1 = 0. Какие две интегральные кривые проходят через точку
M(p/2; 1/)?
2152. Показать, что интегральные кривые уравнения х·у'2 – 2·у·у' + 4·х=0 содержатся внутри острого угла между прямыми у = ± 2·х. Построить интегральные кривые, полагая в общем интеграле постоянную С = ± ½, ± 1, ± 2 и т.д.
2153. Решить уравнения:
1)y·y'2 + y'·(x - y) – x = 0;2)x·y'2 + 2·x·y' –y = 0
и построить интегральные кривые.
2154. Решить уравнения, не содержащие явно одной из переменных:
1)y = l + y'2; 2).
Указание. Обозначив у' через р, продифференцировать первое уравнение по х, а второе – по у.
2155. Найти общие и особые интегралы уравнений Лагранжа:
1) y = ху'2 + у'2. 2); 3) .
2156. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить интегральные кривые:
1)у = ху' – у'2;2); 3) .
2157. Построить интегральные кривые уравнения у'2 + y = 1. Какие две интегральные кривые проходят через точку M(1; 3/4)?
2158. Решить уравнения, не содержащие явно одной из переменных:
1)у = у'2 + у'3; 2).
2159. Решить уравнение .
2160. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить интегральные кривые:
1), 2)y = х·у' + у' + у'2.
2161. Найти кривую, касательные к которой образуют с осями координат треугольник постоянной площади, равной 2а2.
2162. Найти кривую, касательная к которой отсекает на осях координат отрезки, сумма которых равна a.