К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами

   Однородное линейное дифференциальное уравнение
y(n) + p1·y(n-1) + … + pn·y = 0, (1)
где pi – функции х, имеет общее решение вида:
y = C1·y1 + C2·y2 + … + Cn·yn,(2)
где y1, y2, … , yn – линейно независимые частные решения уравнения (1), a C1, С2, … , Сn – произвольные постоянные.
   Если коэффициенты p1, р2, …, рn уравнения (1) постоянны, то частные решения y1, у2, …, yn находятся с помощью характеристического уравнения
r n + p1·rn-1+ … + pn = 0(3)
1)  Каждому вещественному корню r = а уравнения (3) кратности m соответствуют m частных решений eax, x·eax, … , xm-1·eax;
2)  Каждой паре мнимых корней r = α ± β·i кратности m соответствуют m пар частных решений:
eα·x·cos βx,  x·eα·x·cos βx,  …,  xm - 1·eα·x·cos βx,
eα·x·sin βx,  x·eα·x·sin βx,  …,  xm - 1·eα·x·sin βx,
Решить уравнения:
2184.у″ – 4·у′ + 3·у = 0. (видео) 2185. y″ – 4·y′ + 4·y = 0. (видео) 2186. y″ – 4·y′ + 13·y = 0 (видео)2187.y″ – 4·y = 0. (видео)
2188.y″ + 4·y = 0.2189.y″ + 4·y′ = 0.2190..2191.. (видео)
2192. ; при t = 0, s = 1, s′ = 1.
2193.y''' – 5·y′′ + 8·y′ – 4·y = 0.2194.y IV – 16·y = 0. (видео)2195. y ''' – 8·y = 0. (видео)
2196.y''' + 3·a·y′′ + 3·a2·y′ + a3·y = 0.2197.yIV + 4·y = 0.2198.4·yIV – 3·y′′ – y = 0.

2199. Определить уравнение колебаний маятника, состоящего из массы m, подвешенной на нити длиной l (сопротивлением пренебречь и положить, что при малом угле α отклонения sinα ≈ α). Определить период колебания.

2200. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под действием одного груза пружина удли­няется на а см. Определить движение первого груза, если второй оборвется (сопротивлением пренебречь). Определить период колебания.

2201. Решить задачу 2200 с учетом сопротивления, пропорционального скорости движения.

Решить уравнения:
2202.y'' + 3·y′ + 2·y = 0.2203. y'' + 2·a·y′ + a2·y = 0.2204.y'' + 2·y′ + 5·y = 0. 2205..
2206..2207.. 2208..2209.y''' – 3·y′′ + 4·y = 0.
2210. yIV – 3·y'' – 4·y = 0.2211.yIV + 8·y'' + 16·y = 0. (видео)

2212. Найти интегральную кривую уравнения у″ – у = 0, касающуюся в точке (0; 0) прямой у = x.