К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

1°. Основное свойство. Пусть даны уравнения:
y(n) + p1·y(n-1) + … + pn·y = f (x) – неоднородное,                                 (1)
y(n) + p1·y(n-1) + … + pn·y = 0 – однородное                                          (2)
и пусть u – общее решение уравнения (2), а y1 – частное решение уравнения (1). Тогда общее решение у уравнения (1) будет:
y = u + y1.
2°. Метод неопределенных коэффициентов. При постоянных р1, p2, …, рn частное решение y1 находится методом неопределенных коэффициентов в следующих случаях:
1)  f (x) – многочлен,
2) f (x) = еmx·(a ·cos nx + b ·sin nx),
3) f (x) есть сумма или произведение предыдущих функций.
   В этих случаях частное решение у1 имеет тот же вид, что и f (x), отличаясь от нее только коэффициентами.
   Исключения составляют особые случаи, когда:
1) f (x) – многочлен, но r =0 – корень характеристического уравнения кратности k;
2) f (x) = еmx·(a·cos nx + b·sin nx), но r = m ± n·i есть корень характеристического уравнения кратности k. В этих особых случаях у1 отличается от f (х), не только коэффициентами, но еще и множителем хk.
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Более общим приемом решения неоднородного линейного уравнения является метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных.
   Если у1 и y2 – независимые частные решения уравнения y″ + p·y′ + q·y = 0, то решение уравнения у″ + р·у′ + q·y = f (x) по методу Лагранжа находится в виде у = А·у1 + B·y2, где A и В – функции х, удовлетворяющие системе уравнений
A′·y1 + B′·y2 = 0,
A′·y′1 + B′·y′2 = f (x).
Отсюда
.
Решить уравнения:
  1. у″ − 2·y′ + у = e2 x.
  2. y '' − 4 y = 8 x3. (видео)
  3. y '' + 3 y ' + 2 y = sin 2x + 2 cos 2x. (видео)
  4. у″ + у = х + 2·eх.
  5. у″ + 3 у′ = 9·x.
2218.у″ + 4·у′ + 5·у = 5·х2 – 32·х + 5.2219.у″ – 3·y′ + 2·у = еx. (видео) 2220..
2221. у″ – 2·y = x·e– x. (видео)2222. у″ – 2·у′ = x2 – x. (видео)2223.у″ + 5·y′ + 6·y = e–x + е–2x.
2224..2225.у′′″ + y″ = 6·x + e–x.2226.yIV – 81·y = 27·e–3x.
2227..2228.y′′′ + 8·y = e–2x.2229. 1).
22291) ; 2) .2230. (видео) 2231.
2232.y″ – 2·y′ + y = x-2·ex.2233.у″ + y = tg x.2234. 1) 2) .
2235. Единица массы движется по оси Ох под действием постоянной силы a, направленной по оси, при сопротивлении движению, численно равном скорости движения. Найти закон движения, если при t = 0 имеем х = 0 и скорость v = 0.
Решить уравнения:
2236.у″ + у′ – 2·у = 6·x2.2237.y′′ – 5·y′ + 6·y = 13· sin 3x.2238.y′′ +2·y′ + y = ex.
2239.у″ + у′ + 2,5·у = 25·cos 2x.2240.4·y′′ – у = х3 – 24·x.2241.y′′ – y = e–x.
2242..2243. 1)y′′ – 2·m·y′ + 2·m2·y = sin mx;2243. 2)n3·y′′ – 4·n·y = 8.
2244.yIV + 5·y′′ + 4·y = 3· sin x.2245.у′′′ – 3 у″ + 3·y′ – у = ex.
Следующие уравнения решить методом вариации произвольных постоянных:
2246.у″ + 4·y′ + 4·у = е-2x·ln х.2247. 1)
2247. 2)2248.