К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла

   1° Двойным интегралом от непрерывной функции F (x, y), распространенным на ограниченную область (S) плоскости хОу, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:
где и сумма распространена на те значения i и k, для которых точки (xi; yk) принадлежат области (S).
   Площадь S области (S) определяется формулой
   2°. Если область (S) определяется неравенствами а ≤ х ≤ b, у1(х) ≤ у ≤ у2(х), причем каждая из непрерывных кривых у = у4(х) и у = у2(х) пересекаются с вертикалью х = Х (х1 < Х < х2) только в одной точке, то
,
где при вычислении интеграла величину х полагают постоянной.
   3°. Если область (S) определяется неравенствами h ≤ y ≤ t, х1(у) ≤ х ≤ х2(у), причем каждая из непрерывных кривых х = х1(у) и х = х2(у) пересекаются с горизонталью у = Y (y1 < Y < y 2) только в одной точке, то
,
где при вычислении интеграла величину у полагают постоянной.
   4°. Если область (S) определена в полярных координатах неравенствами φ1 ≤ φ ≤ φ2, r1(φ) ≤ r ≤ r2 (φ), то площадь этой области
   Записать с помощью двойных интегралов и вычислить площади, ограниченные линиями:
2292.xy = 4, y = x, x = 4.
2293. 1)y = x2, 4 y = x2, y = 4.
2)y = x2, 4 y = x2, x = ± 2.
2294.y2 = 4 + x, x + 3 y = 0.
2295.ay = x2 - 2 ax, y = x.
2296.y = ln x, x - y = 1 и y = - 1.
2297. Построить области, площади которых выражаются интегралами:
1);2); 3).
   Изменить порядок интегрирования.
   Указание. Чтобы получить уравнения линий, ограничивающих область, нужно пределы интеграла по dx приравнять х, а в пределы интеграла по dy, приравнять у.

2298. Построить области, площади которых выражаются интегралами: 1) ; 2) . Изменить порядок интегрирования и вычислить площади.

2299. Вычислить площадь, ограниченную линиями r = a (1 - cos φ) и r = a и расположенную вне круга.

2300. Вычислить площадь, ограниченную прямой r·cos φ = a и окружностью r = 2·a.

Вычислить площади, ограниченные линиями:
2301. , x·y = 2·a2 , , y =2·x.
Указание. В этой задаче выгодно перейти к новым координатам х·у = u и y = v·x, после чего площадь определяется по формуле ∫∫| J | du dv, где
и называется якобианом. В задаче 2302 положить у2 = u·x, v·y2 = x3, а в задаче 2303 перейти к обобщенным полярным координатам х = r·cos3φ и у = r·sin3φ.
2302.у2 = a·х, у2 = 16·a·х, a·у2 = х3, 16·a·у2 = х3.2303.х2/3 + у2/3 = a·2/3.
Вычислить площади ограниченные линиями:
2304.у = х2, у = х + 2.2305.а·х = у2 - 2·a·у и у + х = 0.
2306.у = sin x, y = cos x и х = 0.2307.у2 = a·2 – a·х, у = a + х.

2308. r = 4·( 1 + cos φ ), r·cos φ =3 (справа от прямой ).

2309. r = a·( 1 - cos φ ), r = a и расположенную вне кардиоиды.

2310. х·у = 1, х·у =8, у2 = х, у2 = 8·х.

2311. Построить области , площади которых выражаются интегралами:
1); 2);3)
Изменить порядок интегрирования и вычислить площади.