К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§ 3. Вычисление объёма с помощью двойного интеграла

   Объём тела ограниченного сверху поверхностью z = F( x, y) , снизу – плоскостью z = 0 и с боков – цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу областью (S), равен
   Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:
2331. z = x2 + y 2 , x + y = 4 , x = 0, y = 0, z = 0.2332.z = x + y + a, y2 = ax , x = a , z = 0, y = 0 (при у > 0 ).
2333. ( х + у )2 + a·z = a2, x = 0, y = 0, z = 0 (поверхность построить по сечениям : х = 0, у = 0, z = 0, z = h ≤ a; см. Задачу 546).
2334.х2 + у2 = a2 , x2 + z2 = a2 (см. задачу 552) (видео).2335.z2 = x y , x = a , x = 0 , y = a , y = 0.
2336.a·z = x2 – y2, z = 0 , x = a.2337.z2 = x y , x + y = a.
2338. x + y + z = 3 a , x2 + y2 = a2 , z = 0.
Указание. В задачах 2338 – 2344 перейти к полярным координатам.
2339. z = m·x, x2 + y2 = a2, z = 0.
2340. a z = a2 – x2 – y2 , z = 0.
2341. x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y 2 = a2 (вне цилиндра ).
2342. x2 + y2 + z2 = a2 , x2 + y2 ± a·x = 0 (внутри цилиндров).
2343. Первым завитком геликоида внутри цилиндра х2 + у2 = a2 и плоскостью z = 0.
2344. z2 = 2·a·x, x2 + y2 = a·x.
2345. , z = 0.
Указание. В задачах 2345 и 2346 перейти к обобщенным (эллиптическим ) полярным координатам : х = a·r·cosφ, y = b·r·sinφ.
2346. и
2347. x2/3 + y2/3 + z2/3 = a2/3 (положить х = r·cos3φ, y = r· sin3φ).
Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:
2348.z = a – x, y2 = a·x и z = 0.2349.z = x2 + y2, y = x2 , y = 1 , z = 0.
2350.y2 + z2 = 4·a·x,   y2 = a·x , x = 3a (вне цилиндра).2351.,
2352. Коноида х2·у2 + h2·z2 = a2·y2 при  0 ≤ y ≤ h (см. задачу 559).
2353. х2/3 + z2/3 = a2/3, x2/3 + y2/3 = a2/3.
2354. 4· z = 16 – x2 – y2, z = 0, x2 + y2 = 4 (вне цилиндра).
Указание. В задачах 2354 – 2358 перейти к полярным координатам .
2355.z2 = (x + a)2, x2 + y2 = a2. 2356., z - 0, x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4.
2357.a·z = x2 + y2 , z = 0, x2 + y2 ± ax =0.2358.a·z = a2 – x2 – y2, z = 0 , x2 + y2 ± ax = 0 (внутри цилиндра ).
2359. 
Указание. Положить х = a·r·cos φ, y = a·r·sin φ.