К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§5. Тройной интеграл и его приложения

   Тройным интегралом от функции f (x, y, z), распространённым на область (V) , называется предел соответствующей трёхмерной суммы:
где ∆хi = xi + 1 – xi, ∆yj = yj + 1 – yj, ∆zk = zk + 1 – zk и сумма распространена на те значения j и k, для которых точки (xi; yj; zk) принадлежит области (V).
   Если области (V) определена неравенствами a ≤ х ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y), то
При F( x, y, z) = 1 получаем объём V . Координаты центра масс однородного тела объёмом V вычисляются по формулам
,

2369. Определить объём тела, ограниченного поверхностями a·z = x2 + y2, 2·a·z = a2 – x2 – y2. (видео)

2370. Определить объём тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 – z2= 0, x2 + y2 + z2 = a2 , внутри конуса.

2371. Показать, что поверхность конуса x2 + y2 – z2 = 0 делит объём шара x2 + y2 + z2 = 2·a z в отношении 3 : 1. (видео)

2372. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями х + у + z = a , х = 0, у = 0, z = 0, если плоскость в каждой её точке рвана аппликате z этой точки. (видео)

         Определить центр масс однородного тела, ограниченного поверхностями:
2373.х + у + z = a, х = 0, у = 0, z = 0.2374.a·z = a2 – x2 – y2, z = 0.
   Определить момент инерции относительно оси О z тела, ограниченного поверхностями (плотность μ = 1):
2375.х = 0, у = 0, у = a, z = 0, x + z = a.2376.х + у + z = a√2, x2 + y2 = a2, z = 0.
2377. Определить объём тела, ограниченного замкнутой поверхностью :
1)(x2 + y2 + z2)2 = a3x;2)(x2 + y2 + z2)2 = a·z·(x2 + y2).
Указание. Перейти к сферическим координатам по формулам x = r·sinθ·cosφ, y = r·sinθ·sinφ, z = r·cosφ; элемент объёма dV = r2·sin θ·dr·dφ dθ.
   Определить объёмы тел, ограниченных поверхностями:
2378.a·z = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 2·a2.2379.x2 + y2 - z2 = 0 , z = 6 - x2 - y2.2380.a·z = x2 + y2, z2 = x2 + y2.
2381. Определить массу тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 – z2 = 0 и z = h, если плотность в каждой точке его равна аппликате этой точки.

2382. Определить массу тела, ограниченного поверхностями 2·х + z = 2a, x + z = a, y2 = a·x, y = 0 (при у > 0), если плотность в каждой его точке равна ординате у этой точки.

2383. Определить центр масс однородного полушара x2 + y2 + z2 = a2, z = 0.

2384. Определить момент инерции относительно оси Оz тела, ограниченного поверхностями z2 = 2·a·x, z = 0, x2 + y2 = a·x.

2385. Определить объём тела, ограниченного поверхностью (x2 + y2 + z2)2 = a·x·y·z (перейти к сферическим координатам) (см. задачу 2377).

2386. Определить массу сферического слоя между поверхностями x2 + y2 + z2 = a2 и x2 + y2 + z2 = 4·a2, если плотность в каждой его точки обратно пропорциональна расстоянию от точки до начало координат ( перейти к сферическим координатам).