m13_6

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Предметный указатель

Вверх

Ответы

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.

§ 6. Криволинейный интеграл. Формула Грина

1°. Определение криволинейного интеграла. Пусть на дуге <AB> спрямляемой кривой определена непрерывная функция P(x, y, z). Разобьём дугу на части точками А(x_o; y_o; z_o), M₁(x₁; y₁; z₁), … , M_{n - 1}(x_{n – 1}, y_{n – 1}, z_{n – 1}) и В( х_n, y_n, z_n) и пусть x_i – x_{i – 1} = ∆ x_i. Тогда lim ∑P (x_i, y_i, z_i) ∆x_i называется криволинейным интегралом, взятым по дуге <AB>, обозначается. Аналогично определяются итегралы

как сумма предыдущих интегралов. Наконец, встречается ещё криволинейный интеграл вида:

, где

2° Вычисление криволинейного интеграла . Пусть кривая <AB> задана уравнением х = f (x), y = j (x), z = ψ (x), а параметр t при перемещении точки М(t) по дуге <AB> в одном направлении изменяется монотонно; тогда

т. е. все переменные и дифференциалы под знаком криволинейного интеграла нужно выразить через одну переменную (t) и её дифференциал dt из уравнений кривой.
3°. Механическое значение криволинейного интеграла. Интеграл вида

определяет работу при перемещении единицы массы по дуге AB в поле , образованной силой F{P, Q, R}.
4°. Случай полного дифференциала. Если в некоторой области (V) имеем P·dx + Q·dy + R·dz = du, то

, т. е. равен разности значений функции u (x, y, z) в точках В и А и не зависит от пути интегрирования АВ, взятого в области (V).
5°. Формула Грина.

преобразует криволинейный интеграл от P·dX + Q·dy, взятый (против часовой стрелки) по замкнутому контуру (С), двойной интеграл по области (S), ограниченной этим контуром.
6°. Площадь, ограниченная контуром (С):

2387. Даны точки А (2, 2) и В (2, 0). Вычислить : 1) по прямой ОА; 2) по дуге ОА параболы ; 3) по ломаной ОВА.

2388. Даны точки А (4, 2) и В (2, 0). Вычислить : 1) по прямой ОА; 2) по ломаной ОВА.

2389. Решить задачу 2388 для интеграла . почему здесь величина интеграла не зависит от пути интегрирования?

2390. Даны точки А(а; 0; 0), В(а; а; 0) и С(а; а; а;). Вычислить интеграл по прямой ОС и по ломаной ОАВС. (видео)

2391. Поле образовано силой F( P, Q), где Р = х - у, Q = x. Построить силу F в каждой вершине квадрата со сторонами х = ± а и у = ± а и вычислить работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата.

2392. Поле образовано силой F(P, Q), где Р = х + у, Q = 2·x. Построить силу F в начале каждой четверти окружности x = a·cos t, y= a·sin t и вычислить работу единицы массы по окружности. Решить эту же задачу при условии Р = х + у, Q = x. Почему здесь работа равна нулю?

2393. Поле образовано силой F(у, а). Определить работу при перемещении массы m по контуру, образованному полуосями координат и первой четвертью эллипса x = a·cos t, y = b·sin t.

2394. Поле образовано силой F(x, y, z). Определить работу при перемещении единицы массы по ломаной ОАВСО, соединяющей точки О(0; 0; 0), А(0; а; 0), В(а; а; 0), С(а; а; а).

2395. Написать и проверить формулу Грина для по контуру треугольника со сторонами х = 0, у = 0, х + у = a.

2396. Вычислить интегралы:

по любой линии от точки А (1; π/6) до В(2; π/4).

2397. Применив формулу Грина, вычислить интеграл по контуру Δ ABC с вершинами А(а; 0), В(а; а) и С(0; а).

2398. Определить криволинейным интегралом площадь эллипса x = a·cos t, y = b·sin t.

2399. Определить криволинейным интегралом площадь петли кривой x³ + x² - y² = 0 (см. рис.)

2400. Определить криволинейным интегралом площадь петли декартова листа x³ + y³ - 3 a x y = 0 ( см указание к задаче 2399 и рис 83 на стр.346).

2401.С какой силой притягивает масса М, равномерно распределенная по верхней полуокружности x² + y² = a², массу m, сосредоточенную в начале координат?

Указание. Пусть m - линейная плоскость, ds – элемент длины полуокружности, q - угол радиуса - вектора с осью Ox, а Х и Y – проекции силы притяжения. Тогда

где k - постоянная тяготения.

2402.Даны точки А (- a; a) и B (a; a). С какой силой притягивает масса М, равномерно распределенная по отрезку АВ, массу m, сосредоточенную в точке (0; 0).

2403. Даны точки А (a; 0), В (0; a) и С (- a; 0). С какой силой притягивает масса М, равномерно распределенная по ломаной АВС, массу m, сосредоточенную в начале координат?

2404. Даны точки А(0; 1), В(2; 5) и С (0; 5). Вычислить : 1) по прямой АВ; 2) по дуге АВ параболы y = x² + 1 ; 3) по ломаной АСВ.

2405. Даны точки А (- a; 0) и В (0; a). Вычислить работу силы F{P, Q}, где Р = у и Q = y - x при перемещении единицы массы: 1) по прямой АВ; 2) по ломаной АОВ; 3) по дуге АВ параболы .

2406. Показать, что по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4. (видео)

2407. Написать и проверить формулу Грина для интеграла взятого по контуру ΔABC с вершинами А (1;1), В (2;1) и С (2;2).

2408. С помощью криволинейного интеграла определить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos³ t, y = a sin³ t.

2409. С помощью криволинейного интеграла определить площадь, ограниченную кривой y² + x⁴ - x² = 0. (Перейти к параметрическим уравнениям, положив у = x·t.)