К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

Поверхностные интегралы.
Формулы Остроградского – Гаусса и Стокса

   1°.Поверхностный интеграл первого рода. Пусть F( x, y, z) — непрерывная функция и z = φ (x, y) – уравнение поверхности S, причём существуют
   Поверхностный инетграл первого типа представляет собой предел интегральной суммы:
где ΔS i – площадь i - го элемента поверхности S, точка ( x i, y i, z i ) принадлежит этому элементу, причём максимальный диаметр элементов разбиения стремится к нулю. Если проекция σ поверхности S на плскость хОу однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси Oz, пересекает поверхность S лишь в одной точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть вычислен по формуле
.
   2°.Поверхностный интеграл второго рода. Если P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) – непрерывные функции и S+ – сторона поверхности S, характеризуемая направлением внешней нормали n (cos α; cos β; cos γ), то соответствующий поверхностный интеграл второго рода авражается следующим образом:
.
   3º. Формула Остроградского-Гаусса:
,
где α, β и γ – углы внешней нормали замкнутой поверхности S и осями координат, а V – объем тела, ограниченного этой поверхностью. Первый интеграл можно записать в виде
где F( x, y, z ) = 0 – уравнение поверхности, а S z – проекция S на плоскость xOy.
   4º. Формула Стокса:
где α, β и γ – углы, образованные осями координат с нормалью к поверхности S, направленной в ту ее сторону, с которой обход контура С рассматривается происходящим против часовой стрелки.

2410. Вычислить по верхней поверхности плоскости x + y + z = а, расположенной в первом октанте. (видео)

2411. Вычислить по верхней поверхности параболоида x2 + y2 + 2 a z = a2 , расположенной во втором октанте (где x < 0, y < 0, z < 0). (видео)
Указание. Приведя интеграл к виду , перейти к полярным координатам. Угол φ будет изменяться от π/2 до π.

2412. Написать и проверить формулу Остроградского для интеграла , взятого по поверхности шара x2 + y2 + z2 = a2 (видео).

2413. Написать и проверить формулу Остроградского-Гаусса для интеграла , взятого по наружной поверхности тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 + 2 a z = a2, х = 0, у = 0, z = 0, внутри первого октанта.
Указание. Двойной интеграл по плоским граням тела равен 0, ибо, например, на плоскости z = 0 и cos(n, i) = 0 и cos(n, j) = 0.

2414. Полагая в формуле Остроградского-Гаусса Р = х, Q = y, R = z, получить формулу для объема:

.
Вычислить по этой формуле объем эллипсоида
(видео).

2415. Полагая в формуле Остроградского-Гаусса , и (т.е. полагая вектор {P; Q; R} равным grad u), доказать, что

,
где – оператор Лапласа.

2416. Проверить полученную в предыдущей задаче формулу для функции u = x2 + y2 + z2 на поверхности x2 + y2 + z2 = a2.

2417. Показать с помощью формулы Стокса, что по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить это вычислением интеграла по контуру ∆ОАВ с вершинами О(0; 0; 0), А(1; 1; 0) и В(1; 1; 1). (видео)

2418. Написать и проверить формулу Стокса для интеграла , взятого по контуру ∆АВС с вершинами А(а; 0; 0), В(0; а; 0) и С(0; 0; а).
Указание. Двойной интеграл можно взять по любой поверхности, проходящей через периметр треугольника АВС, например, по плоскости x + y + z = a.

2419. Написать и проверить формулу Остроградского-Гаусса для интеграла
,
взятого по поверхности шара x2 + y2 + z2 = a2.
Указание. Тройной интеграл преобразовать к сферическим координатам.

2420. Написать и проверить формулу Стокса для интеграла

по контуру треугольника с вершинами А(а; 0; 0), В(0; а; 0) и С(0; 0; а) (см.указание к задаче 2418).

2421. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить

,
взятый по наружной поверхности пирамиды, образованной плоскостями x + y + z = a, x = 0, y = 0, z = 0. (видео)