Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.
§ 1. Числовые ряды
1°. Ряд u1 + u2 + u3 + … + un + … называется сходящимся, если сумма Sn его n первых членов при n → ∞ стремится к конечному пределу S:
.
Число S называется суммой сходящегося ряда. Несходящийся ряд называется расходящимся.
Для сходимости ряда необходимо (но не достаточно), чтобы un → 0 при n → ∞.
2°. Интегральный признак сходимости ряда с положительными убывающими членами:
Если un = f (n), где f (x) – убывающая функция, и
3°. Признак Даламбера сходимости ряда с положительными членами: если
4°. Сравнение рядов с положительными членами:
| u1 + u2 + u3 + … + un + …; | (1) |
| v1 + v2 + v3 + … + vn + … | (2) |
1) Если un ≤ vn и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
2) Если un ≥ vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
5°. Ряд с чередующимися знаками u1 – u2 + u3 – u4 + … сходится, если u1 > u2 > u3 > u4> … и
.
6°. Абсолютная сходимость. Ряд
| u1 + u2 + u3 + … + un + … | (3) |
сходится, если сходится ряд
| | u1 | + |u2 |+ | u3 | + … + | un | + … | (4) |
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
2431. 
Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
| 2432. |  | 2433. |  | 2434. |  |
| 2435. |  | 2436. |  | 2437. |  |
Сравнением с гармоническим рядом или с убывающей прогрессией исследовать сходимость ряда:
2441. Методом сравнения рядов показать, что ряд
при |х| ≤ 1 расходится, а при |х| >1 сходится.
Указание. Для сравнения в первом случае заменить х2, х4, х6, … единицами, во втором
случае отбросить в знаменателях единицы.
Найти сумму ряда:
| 2442. |  | Указание. Разложить un на элементарные дроби. |
| 2443. |  |
Исследовать сходимость ряда:
2448. Показать, что сумма S условно сходящегося ряда 
уменьшится вдвое, если после каждого положительного члена ряда поместить два последующих отрицательных, и увеличится в полтора раза, если после каждых двух положительных членов поместить один отрицательный.
Исследовать сходимость ряда:
| 2449. |  | 2450. |  | 2451. |  |
| 2452. |  | 2453. |  | 2454. |  |
| 2455. |  | 2456. |  | 2457. |  |
| 2458. |  | 2459. |  |
Найти сумму ряда:
| 2460. |  | 2461. |  |
(видео)
(видео)
