§ 2. Равномерная сходимость функционального ряда
| u1(x) + u2(x) + … + un(x) + … | (1) |
Функция
называется его суммой, а разность
Rn(x) = S(x) - Sn (x) – остатком ряда.2°. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на отрезке [a, b] если для всякого ε > 0 можно найти такой номер N, что при n > N и любом х на отрезке [a, b] будет выполнено неравенство | Rn ( x ) | < ε.
3°. Признак равномерной сходимости. Ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, b], если существует числовой сходящийся ряд с положительными членами
2462. Определить при | х | < 1 сумму и остаток ряда 1 + x + x² + x³ + … и показать, что он сходится равномерно на отрезке [0, 1/2]. При каком n остаток | Rn( x ) | < 0,001 для любого х на этом отрезке?
2463. Показать, что ряд х + х·(1 - х) + х·(1 - х )2 + х·(1 - х )3 + … сходится неравномерно на отрезке [0,1] и равномерно на отрезке [1/2,1]. При каком n остаток | Rn ( x ) | < 0,01 для любого х на отрезке [1/2,1]?
2464. Показать, что ряд 
сходится равномерно на отрезке [0,1]. При каких n и любом х на этом отрезке | Rn( x ) | < 0,1?
2465. Показать, что ряд 
сходится неравномерно при х > 0 и равномерно при x ≥ 1. При каком n остаток | Rn | < 0,001 для любого x ≥ 1?
2466. Показать, что ряд 
сходится равномерно в интервале
0 ≤ x < ∞. При каком n (и любом х) остаток ряда | Rn( x ) | < 0,01?
Указание. Сравнить данный ряд с числовым сходящимся рядом.
2467. Показать, что ряд
сходится равномерно на все числовой оси. При каком n (и любом х) остаток ряда |Rn(x)| < 0,0001?
2468. Показать, что ряд 
сходится равномерно к
в интервале 0 < x < ∞. При каком n (и любом х > 0) остаток ряда | Rn( x ) | < 0,1?
2469. Показать, что ряд 
сходится равномерно в
интервале 0 ≤ x < ∞. При каком n остаток ряда | Rn ( x ) | < 0,01?